Der Functional Continued Fraction (FCF) der Exponentialklasse wird definiert durch a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) a> 0. Wenn Sie a = e = 2,718281828 .. setzen, wie beweisen Sie, dass e_ (cf) (0,1; 1) = 1.880789470, fast?

Antworten:

Siehe Erklärung …

Erläuterung:

Lassen #t = a_ (cf) (x; b) #

Dann:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Mit anderen Worten, # t # ist ein fester Punkt des Mappings:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Beachten Sie, dass allein # t # ein fester Punkt von sein #F (t) # reicht nicht aus, um das zu beweisen #t = a_ (cf) (x; b) #. Möglicherweise gibt es instabile und stabile Fixpunkte.

Zum Beispiel, #2016^(1/2016)# ist ein fester Punkt von #x -> x ^ x #ist aber keine Lösung von # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Es gibt keine Lösung).

Lassen Sie uns jedoch überlegen #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # und #t = 1.880789470 #

Dann:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Also dieser Wert von # t # ist sehr nahe an einem festen Punkt von #F_ (a, b, x) #

Um zu beweisen, dass es stabil ist, betrachten Sie die Ableitung als nahe # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Also finden wir:

#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~ 0,5316916199 #

Da dies negativ ist und einen absoluten Wert von unter #1#ist der feste Punkt bei # t # ist stabil.

Beachten Sie auch, dass für jeden von Null verschiedenen reellen Wert von # s # wir haben:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

Das ist #F_ (e, 1,0.1) (s) # ist streng monoton abnehmend.

Daher # t # ist der einzigartige stabile Fixpunkt.

Antworten:

Vertragsmäßiges Verhalten

Erläuterung:

Mit #a = e # und #x = x_0 # Die Iteration folgt als

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # und auch

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Untersuchen wir die Bedingungen für eine Kontraktion im Iterationsoperator.

Beide Seiten abziehen

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

aber in erster Näherung

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1}))) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

oder

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} ca -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Um eine Kontraktion zu haben, brauchen wir

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Dies wird erreicht, wenn

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Angenommen, #b> 0 # und #k = 1 # wir haben.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

So gegeben # x_0 # und # b # Diese Beziehung ermöglicht es uns, die anfängliche Iteration unter kontraktivem Verhalten zu finden.