Wie lautet die Standardgleichung der Parabel mit einem Fokus bei (42, -31) und einer Directrix von y = 2?

Antworten:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # Standardform

Erläuterung:

Bitte beachten Sie, dass die Directrix eine horizontale Linie ist

#y = 2 #

Daher ist die Parabel der Typ, der sich nach oben oder nach unten öffnet. Die Scheitelpunktform der Gleichung für diesen Typ lautet:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k 1 #

Woher # (h, k) # ist der Scheitelpunkt und # f # ist der vorzeichenbehaftete vertikale Abstand vom Scheitelpunkt zum Fokus.

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts stimmt mit der x-Koordinate des Fokus überein:

#h = 42 #

Ersatz #42# zum # h # in Gleichung 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k 2 #

Die y-Koordinate des Scheitelpunkts liegt auf halbem Weg zwischen der Directrix und dem Fokus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Ersatz #-29/2# zum # k # in Gleichung 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Die Gleichung, um den Wert von zu finden # f # ist:

#f = y_ "Fokus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Ersatz #-33/2# zum # f # in Gleichung 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Vereinfachen Sie den Bruch:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Erweitern Sie das Quadrat:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Verteilen Sie die Fraktion:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-294 / 11-29 / 2 #

Kombinieren Sie wie folgt:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # Standardform

Antworten:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Erläuterung:

Wir werden das lösen Problem mit den folgenden Focus-Directrix

Immobilien (FDP) des Parabel.

FDP: Jeder Punkt auf einem Parabel ist gleich weit entfernt von dem

Fokus und das Directrix.

Lass den Punkt # F = F (42, -31) "und die Zeile" d: y-2 = 0, # Sein

das Fokus und das Directrix des Parabel, sagen Sie S.

Lassen, # P = P (x, y) in S, # irgendein sein Allgemeiner Punkt.

Dann mit der Distanzformel, wir haben die entfernung,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Zu wissen, dass die # bot- #dist. zwischen einem Punkt # (k, k), # und eine Zeile:

# ax + by + c = 0, # ist # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # wir glauben, dass, # "the" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "ist" | y-2 | ………….. (2). #

Durch FDP, # (1) und (2), # wir haben, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 | oder #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, d. h. #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # die in der Standardform, liest, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

wie Respektierter Douglas K. Sir hat schon abgeleitet!

Genießen Sie Mathe.!