Wann verwenden Sie die Heron-Formel, um ein Gebiet zu finden?

Sie können es verwenden, wenn Sie die Länge aller drei Seiten eines Dreiecks kennen.

Ich hoffe, das war hilfreich.

Antworten:

Herons Formel ist fast immer die falsche Formel; Versuchen Sie es mit dem Satz von Archimedes für ein Dreieck mit Fläche #EIN# und seiten #ABC#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # woher # s = 1/2 (a + b + c) #

Dieser letzte ist dünn verschleierter Heron.

Erläuterung:

Der Held von Alexandria schrieb im ersten Jahrhundert nach Christus. Warum wir Studenten weiterhin mit seinem Ergebnis foltern, wenn es viel schönere moderne Äquivalente gibt, habe ich keine Ahnung.

Herons Formel für die Gegend #EIN# eines Dreiecks mit Seiten #ABC# ist

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # woher # s = 1/2 (a + b + c) # ist das Semiperimeter.

Es gibt keinen Zweifel, dass diese Formel großartig ist. Es ist jedoch umständlich, wegen des Bruches und, wenn wir von Koordinaten ausgehen, die vier Quadratwurzeln zu verwenden.

Lass uns einfach die Mathematik machen. Wir quadrieren und eliminieren # s # was meistens dazu dient, a #16# und eine wichtige Faktorisierung. Vielleicht möchten Sie es zuerst selbst ausprobieren.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a +) b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Das ist schon viel besser als Herons Form. Wir speichern den Bruchteil bis zum Ende und wir fragen uns nicht mehr über die Bedeutung des Semiperimeters.

Der degenerierte Fall erzählt. Wenn einer dieser Faktoren mit einem Minuszeichen Null ist, dann addieren sich zwei Seiten genau auf die andere Seite. Das sind Entfernungen zwischen drei kollinearen Punkten, dem entarteten Dreieck, und wir erhalten einen Nullbereich. Macht Sinn.

Das # a + b + c # Faktor ist interessant. Was es uns sagt, ist, dass diese Formel immer noch funktioniert, wenn wir statt aller positiven Verschiebungen, vorzeichenbehaftete Längen, verwenden.

Die Formel ist immer noch umständlich, die angegebenen Koordinaten zu verwenden. Lass es uns multiplizieren; Vielleicht möchten Sie es selbst ausprobieren.

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Diese Form hängt nur von den Quadraten der Längen ab. Es ist eindeutig völlig symmetrisch. Wir können jetzt über Heron hinausgehen und sagen, ob die quadratische Längen sind rational, so ist der quadratische Bereich.

Aber wir können es besser machen, wenn wir es merken

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Subtrahieren,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Das ist die schönste Form.

Es gibt eine asymmetrisch aussehende Form, die normalerweise am nützlichsten ist. Wir stellen fest

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Hinzufügen zu

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Das ist die nützlichste Form. Es gibt wirklich drei Möglichkeiten, es zu schreiben, Seiten zu tauschen.

Zusammen werden sie als Theorem von Archimedes bezeichnet, von NJ Wildbergers Rational Trigonometry.

Wenn 2D-Koordinaten angegeben werden, ist die Shoelace-Formel häufig der schnellste Weg zu diesem Bereich, aber ich speichere das für andere Beiträge.