Frage # 69feb

Antworten:

Normale Linie: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tangente: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Erläuterung:

Zur Intuition: Stellen Sie sich vor, dass die Funktion #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # beschreibt die Höhe eines Geländes, wo # x # und # y # sind Koordinaten in der Ebene und #ln (y) # wird als natürlicher Logarithmus angenommen. Dann alle # (x, y) # so dass #f (x, y) = a # (die Höhe) entspricht einer Konstanten #ein# werden Pegelkurven genannt. In unserem Fall die konstante Höhe #ein# ist null da #f (x, y) = 0 #.

Sie sind möglicherweise mit topografischen Karten vertraut, in denen die geschlossenen Linien gleich hohe Linien anzeigen.

Nun die Steigung #grad f (x, y) = ((partielles f) / (partielles x), (partielles f) / (partielles x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # gibt uns die Richtung an einem Punkt # (x, y) # in welchem #f (x, y) # (die Höhe) ändert sich am schnellsten. Dies ist entweder geradeaus oder gerade den Hügel hinunter, solange unser Gelände glatt (differenzierbar) ist und wir uns nicht auf einer Oberseite, einer Unterseite oder auf einem Plateau (einem Extrempunkt) befinden. Dies ist in der Tat die Normalenrichtung zu einer Kurve konstanter Höhe, so dass bei # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

deshalb, die normale Linie in dieser Richtung durchlaufen # (2, e ^ 2) # kann als beschrieben werden

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, woher #s in mathbbR # ist ein echter Parameter. Sie können beseitigen # s # ausdrücken # y # als Funktion von # x # wenn Sie es vorziehen, zu finden

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Die Richtungsableitung in Tangentenrichtung muss sein #0# (bedeutet, dass sich die Höhe nicht ändert), also ein Tangentenvektor # (u, v) # muss befriedigen

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, woher # cdot # bedeutet das Punktprodukt. So # (u, v) = (1, e ^ 2) # ist eine gültige Wahl. deshalb, die Tangente durchgehen # (2, e ^ 2) # kann als beschrieben werden

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Lösen für # y # gibt das

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Sie sollten das endlich überprüfen # (2, e ^ 2) # liegt auf der Kurve #f (x, y) #auf der tangentialen Linie und auf der normalen Linie.