Frage Nr. 27939

Antworten:

Wie Sudip Sinha darauf hingewiesen hat # -1 + sqrt3i # ist NICHT eine Null. (Ich habe es versäumt, das zu überprüfen.) Die anderen Nullen sind # 1-sqrt3 i # und #1#.

Erläuterung:

Da alle Koeffizienten reelle Zahlen sind, müssen alle imaginären Nullen in konjugierten Paaren auftreten.

Deshalb, # 1-sqrt3 i # ist eine null.

Ob # c # ist dann eine Null # z-c # ist ein Faktor, also könnten wir uns vermehren

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # bekommen # z ^ 2-2z + 4 #

und dann teilen #P (z) # von diesem Quadrat.

Es ist jedoch schneller, den möglichen rationalen Nullpunkt für zu berücksichtigen # P # zuerst. Oder fügen Sie die Koeffizienten hinzu, um das zu sehen #1# ist auch eine null.

Antworten:

#1# und # 1 - sqrt3 i #

Erläuterung:

In Ihrer Frage ist ein Fehler aufgetreten. Die Wurzel sollte sein # 1 + sqrt3 i #. Sie können dies überprüfen, indem Sie den Wert in den Ausdruck einfügen. Wenn es sich um eine Wurzel handelt, sollte der Ausdruck zu Null ausgewertet werden.

Der Ausdruck hat alle reellen Koeffizienten, also haben wir mit dem Satz komplexer konjugierter Wurzeln (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) die andere komplexe Wurzel # 1 - sqrt3 i #, Klar die dritte Wurzel (sagen wir #ein#) muss real sein, da es kein komplexes Konjugat haben kann; Ansonsten gibt es 4 Wurzeln, was für eine Gleichung 3. Grades nicht möglich ist.

Hinweis

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Schon seit # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Wir werden versuchen, diesen Faktor in den Ausdruck zu bekommen.

Wir können schreiben:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Antworten:

Als Intro denke ich, dass die Wurzel sein sollte #Farbe (blau) (1 + sqrt3) # und nicht #color (rot) (- 1 + sqrt3) #

Auf dieser Grundlage meine antwort ist:

#z in {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Erläuterung:

Mit der Idee von komplexe Konjugate und einige andere coole Tricks.

#P (z) # ist ein Polynom von Grad #3#. Dies bedeutet, dass es nur sein sollte #3# Wurzeln.

Eine interessante Tatsache über komplexe Wurzeln ist, dass sie niemals alleine auftreten. Sie kommen immer in vor konjugierte Paare.

Also wenn # 1 + isqrt3 # ist eine Wurzel, dann ist es konjugiert: # 1-isqrt3 # ganz sicher ist auch eine wurzel!

Und da es nur noch eine weitere Wurzel gibt, können wir diese Wurzel nennen # z = a #.

Es ist keine komplexe Zahl, da komplexe Wurzeln immer paarweise vorkommen.

Und da dies der letzte der ist #3# Wurzeln, nach dem ersten kann es kein anderes Paar geben!

Am Ende sind die Faktoren von #P (z) # waren leicht zu finden # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "und" (z-a) #

NB: Beachten Sie, dass der Unterschied zwischen einer Wurzel und einem Faktor darin besteht:

- Eine Wurzel könnte sein # z = 1 + i #

Aber der entsprechende Faktor wäre # z- (1 + i) #

Der zweite Trick ist das durch Factoring #P (z) # wir sollten so etwas bekommen:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Als nächstes erweitern Sie die Zahnspange, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Als nächstes setzen wir dies dem ursprünglichen Polynom gleich #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Da die beiden Polynome identisch sind, gleichen wir die Koeffizienten von aus # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #und # z ^ 0 #(der konstante Ausdruck) auf beiden Seiten,

Eigentlich müssen wir nur eine Gleichung auswählen und sie lösen #ein#

Gleichsetzung der konstanten Terme

# => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Daher ist die letzte Wurzel #Farbe (blau) (z = 1) #