Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x ^ 3 -3x + 1 in [0,3]?

Antworten:

Absolutes Minimum von #-1# beim # x = 1 # und ein absolutes Maximum von #19# beim # x = 3 #.

Erläuterung:

Es gibt zwei Kandidaten für das absolute Extrem eines Intervalls. Sie sind die Endpunkte des Intervalls (hier #0# und #3#) und die kritischen Werte der Funktion innerhalb des Intervalls.

Die kritischen Werte können ermittelt werden, indem die Ableitung der Funktion ermittelt wird und für welche Werte von # x # es ist gleich #0#.

Wir können die Potenzregel verwenden, um die Ableitung von zu finden #f (x) = x ^ 3-3x + 1 # ist #f '(x) = 3x ^ 2-3 #.

Die kritischen Werte sind wann # 3x ^ 2-3 = 0 #, das zu sein vereinfacht #x = + - 1 #. Jedoch, # x = -1 # ist nicht in dem Intervall, also ist der einzige gültige kritische Wert der bei # x = 1 #. Wir wissen jetzt, dass die absoluten Extreme bei auftreten könnten # x = 0, x = 1, # und # x = 3 #.

Um herauszufinden, welche ist welche, schließen Sie sie an die ursprüngliche Funktion an.

#f (0) = 1 #

#f (1) = - 1 #

#f (3) = 19 #

Von hier aus können wir sehen, dass es ein absolutes Minimum von gibt #-1# beim # x = 1 # und ein absolutes Maximum von #19# beim # x = 3 #.

Überprüfen Sie den Funktionsgraphen:

Graph {x ^ 3-3x + 1 -0,1, 3,1, -5, 20}