Antworten:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k oder x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # für eine ganze Zahl # k. #
Erläuterung:
Ich habe dies auf zwei verschiedene Arten erarbeitet, aber ich denke, dieser dritte Weg ist der beste. Es gibt mehrere Doppelwinkelformeln für Cosinus. Lassen Sie sich von keinem von ihnen in Versuchung bringen. Vermeiden wir auch das Quadrieren von Gleichungen.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Die lineare Kombination von Cosinus und Sinus ist ein phasenverschobener Cosinus.
Lassen # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # und
# theta = Text {Arc} Text {Tan} (2/1) #
Ich habe hier den ersten inversen Tangens angegeben, hier im ersten Quadranten # theta = 63.4 ^ circ #. Wir sind versichert
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
So können wir unsere Gleichung umschreiben
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - Theta) = Sünde (- Theta) #
#cos (2x - Theta) = cos (90 ^ circ + Theta) #
Denken Sie immer an die allgemeine Lösung #cos x = cos a # ist # x = pm a + 360 ^ circ k quad # für eine ganze Zahl # k #.
# 2x - Theta = pm (90 ^ circ + Theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = Theta pm (90 ^ circ + Theta) + 360 ^ circ k #
# x = Theta / 2 pm (45 ^ circ + Theta / 2) + 180 ^ circ k #
Die Schilder einzeln nehmen, # x = Theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k oder x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # ist eine Konstante, die wir versuchen können, einen besseren Ausdruck zu bekommen für:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1-tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Wir wissen # phi # liegt im zweiten Quadranten, nicht im üblichen Bereich des Hauptwerts.
#phi = text {Arc} text {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Das ist unwichtig, weil wir hinzufügen # 180 ^ circ k # zu # phi # in der allgemeinen Lösung trotzdem. Alles zusammen setzen, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k oder x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Wir müssen nicht über den Hauptwert des arctan genau sein; da wir hinzufügen # 180 ^ circ k # Jeder Wert wird ausreichen. Wir könnten das erste schreiben # x = arctan (-3) # mit dem # 180 ^ circ k # impliziert, aber lassen wir es hier.
