Finden (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) unter Verwendung von Additionsformeln?

Antworten:

Das ist richtig, außer (ii) ist invertiert. #tan (A + B) # sollte sein #4/3# wie #sin (A + B) = 4/5 # und #cos (A + B) = 3/5 #.

Erläuterung:

Spaß. Gegeben #cos (A + B) = 3/5 Quad und Quad cos A cos B = 7/10 #

Lassen Sie uns die relevanten Identitäten überprüfen.

# cos (A + B) = cos A cos B - Sünde A Sünde B #

#sin A sin B = cos A cos B - cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 Quad # Wahl (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5 #

#EIN# und # B # sind akut, # A + B <180 ^ Zirkel # also ein positiver sinus:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 Quad # NICHTS DES OBEN GENANNTEN

Eine Doppelwinkelformel lautet #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # so

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))} #

Der Durchschnitt von #EIN# und # B # ist akut, also wählen wir das positive Zeichen.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # Wahl (iii)

Einer von drei ist falsch, B-.

Antworten:

Bitte verweisen Sie auf die Erläuterung Abschnitt.

Erläuterung:

In Anbetracht dessen #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Daher, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Ans." (i) #.

In Anbetracht dessen # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Hinzufügen, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) in Q_1uuQ_2 #.

Aber, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) in Q_1 #.

Jetzt, # sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; "aber weil" (A + B) in Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

#: tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (ii) # #.

Endlich zu finden #sin ((A + B) / 2), "let" (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2 theta = 3/5 #.

# "Nun" cos2theta = 3/5 rArr cos (Theta + Theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … weil "Additionsformel" "#

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, d. h. #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5 oder #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Schon seit, # (A + B) = 2theta # besteht in # Q_1, "so" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.