Antworten:
Die Gleichung der Parabel ist # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Erläuterung:
Als Symmetrieachse gilt # x + y + 1 = 0 # und Fokus liegt darauf, wenn die Abszisse des Fokus liegt # p #Ordinate ist # - (p + 1) # und Koordinaten des Fokus sind # (p, - (p + 1)) #.
Des Weiteren ist Directrix senkrecht zur Symmetrieachse und ihre Gleichung hätte die Form # x-y + k = 0 #
Da jeder Punkt auf Parabel gleich weit von Fokus und Directrix entfernt ist, wird seine Gleichung gleich sein
# (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2 #
Diese Parabel geht durch #(0,0)# und #(0,1)# und daher
# p ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) und
# p ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
Durch Abzug von (1) von (2) erhalten wir
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #was gibt # k = -2p-5/2 #
Dies reduziert die Parabelgleichung auf # (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y-2p-5/2) ^ 2/2 #
und wie es durchgeht #(0,0)#, wir bekommen
# p ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # oder # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
d.h. # 6p = -17 / 4 # und # p = -17 / 24 #
und daher # k = -2xx (-17/24) -5 / 2 = -13 / 12 #
und Gleichung der Parabel als
# (x + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-y-13/12) ^ 2/2 # und multipliziert mit #576=24^2#, wir bekommen
oder # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
oder # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
oder # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
oder # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Graph {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11.42, 8.58, -2.48, 7.52}
