Die Summe des Quadrats aus drei ganzen Zahlen ist 324. Wie finden Sie die ganzen Zahlen?

Antworten:

Die einzige Lösung mit eindeutigen positiven Ganzzahlen ist #(2, 8, 16)#

Die vollständige Palette von Lösungen ist:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Erläuterung:

Wir können uns etwas Mühe sparen, indem wir überlegen, welche Form Quadrate annehmen.

Ob # n # ist dann eine ungerade ganze Zahl #n = 2k + 1 # für eine ganze Zahl # k # und:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Beachten Sie, dass dies eine ungerade ganze Zahl des Formulars ist # 4p + 1 #.

Wenn Sie also die Quadrate zweier ungerader Ganzzahlen hinzufügen, erhalten Sie immer eine Ganzzahl des Formulars # 4k + 2 # für eine ganze Zahl # k #.

Beachten Sie, dass #324 = 4*81# ist von der Form # 4k #nicht # 4k + 2 #.

Daraus können wir schließen, dass die drei ganzen Zahlen gleich sein müssen.

Es gibt eine endliche Anzahl von Lösungen in ganzen Zahlen # n ^ 2> = 0 # für jede ganze Zahl # n #.

Betrachten Sie Lösungen in nicht negativen Ganzzahlen. Wir können am Ende Varianten hinzufügen, die negative ganze Zahlen beinhalten.

Angenommen, die größte Ganzzahl ist # n #, dann:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

So:

# 12 <= n <= 18 #

Daraus ergeben sich mögliche Quadratsummen der beiden anderen Ganzzahlen:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Für jeden dieser Werte # k #Angenommen, die größte verbleibende ganze Zahl ist # m #. Dann:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

und wir verlangen # k-m ^ 2 # ein perfekter Platz sein.

Daher finden wir Lösungen:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Die einzige Lösung mit eindeutigen positiven Ganzzahlen ist also #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Das ist leicht zu zeigen # x, y # und # z # muss ja auch da machen # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # und # z = 2m_z # wir haben

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # oder

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # das ist absurd.

Also werden wir von nun an überlegen

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Nun zur Identität

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

mit # l, m, n # beliebige positive ganze Zahlen und machen

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

wir haben

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # oder lösen für # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

Für die Machbarkeit brauchen wir also

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # oder

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

so für # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # wir werden haben

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # so das Machbare # q # sind

#q_f = {80,72,56,32} # da #q äquiv 0 mod 4 #

also müssen wir finden

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # oder

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Wie wir leicht überprüfen können, ist die einzige Lösung für

# l_1 = 2, m_1 = 4 # da

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

und folglich # n_1 = {4,5} #

und als Ersatz für 1 erhalten wir

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

die Lösung geben

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #