Ok, erstens hast du # x-1 #, # x + 1 #, und # x ^ 2-1 # als Nenner in Ihrer Frage. Ich werde es also annehmen, da die Frage dies implizit annimmt #x! = 1 oder -1 #. Das ist eigentlich ziemlich wichtig.
Lassen Sie uns den rechten Bruch zu einem einzigen Bruch zusammenfassen, # x / (x-1) + 4 / (x + 1) = (x (x + 1)) / ((x-1) (x + 1)) + (4 (x-1)) / ((x-1) (x + 1)) = (x ^ 2 + x + 4x - 4) / (x ^ 2-1) = (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) #
Beachten Sie das hier # (x-1) (x + 1) = x ^ 2 - 1 # aus der Differenz zweier Quadrate.
Wir haben:
# (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) = (4x-2) / (x ^ 2-1) #
Den Nenner aufheben (beide Seiten mit multiplizieren) # x ^ 2-1 #), # x ^ 2 + 5x -4 = 4x-2 #
Bitte beachten Sie, dass dieser Schritt nur aufgrund unserer Annahme zu Beginn möglich ist. Abbrechen # (x ^ 2-1) / (x ^ 2-1) = 1 # gilt nur für # x ^ 2-1! = 0 #.
# x ^ 2 + x -2 = 0 #
Wir können diese quadratische Gleichung faktorisieren:
# x ^ 2 + x - 2 = (x - 1) (x + 2) = 0 #
Und somit, #x = 1 #, oder #x = -2 #.
Aber wir sind noch nicht fertig. Dies ist die Lösung für die quadratische Gleichung, aber nicht die Gleichung in der Frage.
In diesem Fall, #x = 1 # ist ein FremdlösungDies ist eine zusätzliche Lösung, die durch die Art und Weise generiert wird, wie wir unser Problem lösen, aber keine wirkliche Lösung ist.
Also lehnen wir ab #x = 1 #aus unserer früheren Annahme.
Deshalb, #x = -2 #.
