Was ist die implizite Ableitung von 4 = (x + y) ^ 2?

Antworten:

Sie können Kalkül verwenden und einige Minuten für dieses Problem aufwenden, oder Sie können Algebra und einige Sekunden verwenden, aber in beiden Fällen werden Sie es schaffen # dy / dx = -1 #.

Erläuterung:

Beginnen Sie mit der Ableitung in Bezug auf beide Seiten:

# d / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

Auf der linken Seite haben wir die Ableitung einer Konstanten - was gerecht ist #0#. Das reduziert das Problem auf:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Zu bewerten # d / dx (x + y) ^ 2 #, müssen wir die Potenzregel und die Kettenregel verwenden:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

Hinweis: wir multiplizieren mit # (x + y) '# denn die Kettenregel besagt, dass wir die Ableitung der gesamten Funktion (in diesem Fall) multiplizieren müssen # (x + y) ^ 2 # durch die Funktion inside (in diesem Fall # (x + y) #).

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Wie für # (x + y) '#Beachten Sie, dass wir die Summenregel verwenden können, um sie aufzubrechen # x '+ y' #. # x '# ist einfach #1#und weil wir eigentlich nicht wissen was # y # ist, wir müssen gehen # y '# wie # dy / dx #:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Nun, da wir unser Derivat gefunden haben, lautet das Problem:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Etwas Algebra zu isolieren # dy / dx #, wir sehen:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / dxx + dy / dxy + y #

# -x-y = dy / dxx + dy / dxy #

# -x-y = dy / dx (x + y) #

# dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Interessanterweise ist dies gleich #-1# für alle # x # und # y # (ausser wenn # x = -y #). Deshalb, # dy / dx = -1 #. Wir hätten das tatsächlich herausfinden können, ohne Kalkül zu verwenden! Schau dir die Gleichung an # 4 = (x + y) ^ 2 #. Nimm die Quadratwurzel von beiden Seiten um zu bekommen # + - 2 = x + y #. Jetzt abziehen # x # von beiden Seiten und wir haben #y = + - 2-x #. Erinnern Sie sich an diese Algebra? Die Steigung dieser Linie ist #-1#und da die Ableitung die Steigung ist, hätten wir nur sagen können # dy / dx = -1 # und vermied all diese Arbeit.

Was ist die implizite Ableitung von 1 = x / y-e ^ (xy)?

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Zuerst müssen wir wissen, dass wir jeden Teil separat unterscheiden können. Nehmen Sie y = 2x + 3 können 2x und 3 getrennt voneinander unterschieden werden: dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 So können wir 1, x / y und e ^ (xy) getrennt dy / dx1 = unterscheiden dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Regel 1: Die dy / dxC rArr 0-Ableitung einer Konstanten ist 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y differenzieren Sie dies anhand der Quotientenregel Regel 2: dy / dxu / v rArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 oder (vu'-uv

Was ist die implizite Ableitung von 1 = x / y?

Dy / dx = y / x Da y = x, ist dy / dx = 1 Wir haben f (x, y) = x / y = 1 x / y = xy ^ -1 Zuerst leiten wir bezüglich x zuerst ab: d / dx [xy ^ -1] = d / dx [1] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = 0 Unter Verwendung der Kettenregel erhalten wir: d / dx = d / dy * dy / dxy ^ -1 + dy / dxxd / dx [y ^ -1] = 0 y ^ -1 + dy / dx-xy ^ -2 = 0 dy / dxxy ^ -2 = y ^ -1 dy / dx = y ^ - 1 / (xy ^ -2) = y ^ 2 / (xy) = y / x Da wir wissen, dass y = x ist, können wir sagen, dass dy / dx = x / x = 1 ist

Was ist die implizite Ableitung von 1 = e ^ y-xcos (xy)?

(dy) / dx = (cosxy-xysinxy) / (e ^ y + x ^ 2 (sinxy)) 1 = e ^ y - xcos (xy) rArr (d1) / dx = d / dx (e ^ y - xcos (xy)) rArr0 = (de ^ y) / dx- (d (xcos (xy))) / dx rArr0 = (dy / dx) e ^ y - (((dx) / dx) cosxy + x (dcosxy) / dx) rArr0 = (dy / dx) e ^ y (cosxy + x (dxy) / dx (-sinxy)) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosxy + x ((y + x (dy ) / dx) (- sinxy))) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosxy + x (-ysinxy-x (dy) / dx (sinxy))) rArr0 = (dy / dx) e ^ y - (cosxy-xysinxy-x ^ (dy) / dx (sinxy)) rArr0 = (dy / dx) e ^ y-cosxy + Xysinxy + x ^ 2 (dy) / dx (sinxy) rArr0 = (dy / dx) ) e ^ y + x ^ 2 (dy) / dx (sinxy) -cosxy + Xysinxy rArr0 = (dy