Löse 2x ^ 3 + x ^ 2 = -4 - 8x?

Antworten:

#x = -1 / 2 #

Graph {2x ^ 3 + x ^ 2 + 8x + 4 -11.06, 11.44, -4.63, 7.09}

Erläuterung:

Das erste, was Sie immer tun möchten, wenn Sie Polynomialgleichungen lösen, ist es gleich Null. So:

# 2x ^ 3 + x ^ 2 = -4 - 8x #

# => 2x ^ 3 + x ^ 2 + 8x + 4 = 0 #

Jetzt werden wir eine Methode zur Lösung verwenden, genannt Gruppierung. Wir teilen die linke Seite unserer Gleichung in zwei Gruppen mit jeweils zwei Ausdrücken auf und versuchen dann, aus jeder Gruppe einen gemeinsamen Begriff herauszufiltern.

# => (2x ^ 3 + x ^ 2) + (8x + 4) = 0 #

Ich sehe, dass ich ein ausfeilen kann # 2x + 1 # aus jeder meiner Gruppen. Das würde verlassen:

# => (2x + 1) (x ^ 2) + (2x + 1) (4) = 0 #

Da habe ich eine # 2x + 1 # In jeder meiner Ausdrücke kann ich es herausfinden und zusammenklumpen, was übrig bleibt:

# => (2x + 1) (x ^ 2 + 4) = 0 #

Jetzt, da ich ein Produkt von Faktoren habe, kann ich meine Nullprodukteigenschaft aufrufen und weiß, dass einer dieser Faktoren gleich null sein muss, damit diese Gleichung wahr ist.

# => 2x + 1 = 0 #

#x = -1 / 2 #

# => x ^ 2 + 4 = 0 #

#x = + -sqrt (-2) #

… aber warten Sie, wie können wir eine negative Zahl unter unserer Wurzel haben? Die Antwort ist, wir können nicht! Das heißt, wir können keine negative Zahl innerhalb einer Quadratwurzel haben und eine reale Zahl als Antwort erwarten. Also deine einzige echt Lösung für diese Gleichung wäre #x = -1 / 2 #. Wenn wir jedoch imaginäre Lösungen in Betracht ziehen würden, würden wir auch Folgendes einschließen:

#x = + -isqrt (2) #

Sie sollten dies jedoch nur dann in Ihre Antwort aufnehmen, wenn Sie nach imaginären Lösungen gefragt sind.

Eine praktische Möglichkeit, Ihre Antwort direkt nachzuschauen, ist die grafische Darstellung. Mal sehen, wie sich das herausstellt:

Graph {2x ^ 3 + x ^ 2 + 8x + 4 -11.06, 11.44, -4.63, 7.09}

Sie werden sehen, dass unser Diagramm tatsächlich die x-Achse bei schneidet #x = -1 / 2 #was bedeutet, dass wir richtig liegen.

Hier ist ein großartiges Video von patrickJMT, wenn Sie mehr über den Gruppierungsprozess erfahren möchten.

Geben Sie hier die Linkbeschreibung ein

Hoffentlich hilft das:)