Was sind die globalen und lokalen Extrema von f (x) = x ^ 3-x ^ 2-x + 1?

Antworten:

Lokale Extrema: #x = -1 / 3 # und #x = 1 #

Globale Extreme: #x = + - infty #

Erläuterung:

Lokale Extrema, auch als Maxima und Minima oder manchmal als kritische Punkte bezeichnet, klingen genau so, wenn die Funktion ein kurzes Maximum oder ein kurzes Minimum erreicht hat. Sie werden gerufen lokal denn wenn Sie nach kritischen Punkten suchen, ist es in der Regel nur wichtig, was das Maximum in unmittelbarer Nähe des Punktes bedeutet.

Lokale kritische Punkte zu finden, ist ziemlich einfach. Finden Sie heraus, wenn sich die Funktion nicht ändert und die Funktion sich nicht ändert, wenn Sie - Sie haben es erraten - die Ableitung gleich Null ist.

Eine einfache Anwendung der Potenzregel gibt uns #f '(x) #, #f '(x) = 3x ^ 2 -2x - 1 #.

Wir sind besorgt, wenn dieser Ausdruck gleich Null ist:

# 0 = 3x ^ 2 - 2x - 1 #

Jetzt haben wir uns eine quadratische Gleichung in angesehen # x #, die ziemlich einfach zu lösen sein sollte.

Es gibt in der Tat zwei wirklich wertvolle Lösungen für dieses Quadrat, die durch die quadratische Formel oder Ihre Methode der Wahl angegeben werden #x = -1 / 3 # und #x = 1 #.

Wir haben also festgestellt, dass es zwei lokale Extrema gibt sowie deren Standorte. Zu klassifizieren, ob jeder Punkt ein Maximum oder Minimum ist, ist eine andere Geschichte und ich werde hier nicht weiter darauf eingehen, aber ich kann Sie hierher lenken, wenn Sie etwas darüber erfahren möchten.

Nun zu den globalen Extremen. Ein globales Extremum ist definiert als der einzige Maximum- oder Single-Minimum-Punkt einer Funktion auf a ganzes Intervall. Normalerweise wird das Intervall angegeben, z. B. "Finden Sie die globalen Extremwerte von" und "im Intervall #0,3#, "aber es kann auch die gesamte Domäne der Funktion sein.

Bei globalen Extremen müssen Sie mehr als nur die Ableitung berücksichtigen. Sie müssten feststellen, ob es kritische Punkte in diesem Intervall gibt, denn wenn dies der Fall ist, könnte man (aber nicht notwendigerweise) auch die globalen Extrema sein. In solchen Situationen ist die Verwendung eines Taschenrechners am hilfreichsten, aber eine kleine Analyse zeigt die kritischen Punkte. (Ich kann Sie auf diese Seite für weitere Informationen und einige Beispiele weiterleiten.)

In diesem Fall wird die Funktion wirklich sehr groß # x-> infty #und kommt näher an # -infty # wie #x -> - infty #. Es gibt also wirklich kein globales Maximum oder Minimum - es gibt nur die zwei lokalen kritischen Punkte.