Was ist die zweite Ableitung von (f * g) (x), wenn f und g Funktionen sind, so dass f '(x) = g (x) und g' (x) = f (x) ist?

Antworten:

# (4f * g) (x) #

Erläuterung:

Lassen #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Dann verwenden Sie die Produktregel:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Unter Verwendung der in der Frage angegebenen Bedingung erhalten wir:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Jetzt unter Verwendung der Macht- und Kettenregeln:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Unter erneuter Anwendung der besonderen Bedingung dieser Frage schreiben wir:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Antworten:

Noch eine Antwort für den Fall # f * g # soll die Zusammensetzung von sein # f # und #G#

Erläuterung:

Wir wollen die zweite Ableitung von finden # (f * g) (x) = f (g (x)) #

Wir differenzieren einmal nach der Kettenregel.

# d / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

Dann differenzieren wir erneut anhand der Produktkettenregeln

# d / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #