Was sind die lokalen Extrema von f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13?

Antworten:

Lokales Maximum ist # 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 #

Lokales Minimum ist # 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #

Erläuterung:

Um lokale Extrema zu finden, können wir den ersten Ableitungstest verwenden. Wir wissen, dass an einem lokalen Extrem mindestens die erste Ableitung der Funktion gleich Null ist. Nehmen wir also die erste Ableitung und setzen Sie sie auf 0 und lösen Sie nach x.

#f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 #

#f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

# 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

Diese Gleichheit kann leicht mit der quadratischen Formel gelöst werden. In unserem Fall, #a = -3 #, #b = 6 # und # c = 10 #

Quadratische Formel besagt:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Wenn wir unsere Werte wieder in die quadratische Formel einfügen, erhalten wir

#x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt (156) / 6 = 1 + - sqrt (13/3) #

Da wir nun die x-Werte der lokalen Extrema haben, verbinden wir sie wieder mit unserer ursprünglichen Gleichung:

#f (1 + Quadrat (13/3)) = 25 + (26 Quadrat (13/3)) / 3 # und

#f (1 - Quadrat (13/3)) = 25 - (26 Quadratmeter (13/3)) / 3 #