Sei 5a + 12b und 12a + 5b die Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks und 13a + kb die Hypotenuse, wobei a, b und k positive ganze Zahlen sind. Wie finden Sie den kleinsten möglichen Wert von k und den kleinsten Wert von a und b für diesen k?

Antworten:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Erläuterung:

Nach dem Satz von Pythagoras haben wir:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Das ist:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#Farbe (weiß) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Ziehen Sie die linke Seite von beiden Enden ab, um Folgendes zu finden:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (weiß) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Schon seit #b> 0 # wir benötigen:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Dann seit #a, b> 0 # wir verlangen # (240-26k) # und # (169-k ^ 2) # entgegengesetzte Anzeichen haben

Wann #k in 1, 9 # beide # 240-26k # und # 169-k ^ 2 # sind positiv.

Wann #k in 10, 12 # wir finden # 240-26k <0 # und # 169-k ^ 2> 0 # nach Bedarf.

Also der minimal mögliche Wert von # k # ist #10#.

Dann:

# -20a + 69b = 0 #

Dann seit #20# und #69# haben keinen gemeinsamen Faktor größer als #1#die Mindestwerte von #ein# und # b # sind #69# und #20# beziehungsweise.