Antworten:
Bitte sehen Sie die Erklärung unten
Erläuterung:
Die Funktion ist
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Die partiellen Ableitungen sind
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Lassen # (delf) / (delx) = 0 # und # (delf) / (dely) = 0 #
Dann, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Die hessische Matrix ist
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (Delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Die Determinante ist
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Deshalb, Es gibt keine Sattelpunkte.
#D (1,1)> 0 # und # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #gibt es ein lokales Minimum bei #(-3,3)#
Antworten:
Lokales Minimum: #(-3,3)#
Erläuterung:
Die Gruppe von Punkten, die sowohl Extrempunkte als auch Sattelpunkte enthält, wird gefunden, wenn beide Punkte sind # (delf) / (delx) (x, y) # und # (delf) / (klein) (x, y) # sind gleich Null.
Angenommen, # x # und # y # sind unabhängige Variablen:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (klein) (x, y) = x + 2y-3 #
Wir haben also zwei simultane Gleichungen, die zufällig linear sind:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Vom ersten:
# y = -2x-3 #
Ersatz in die zweite:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Ersatz in die erste:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Es gibt also einen Punkt, an dem die ersten Ableitungen gleich Null werden, entweder ein Extremum oder ein Sattel # (x, y) = (- 3,3) #.
Um davon abzuleiten, müssen wir die Matrix der zweiten Ableitungen berechnen, die hessische Matrix (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (Delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Somit
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (Delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Alle Ableitungen zweiter Ordnung sind unabhängig von den Werten von gleichförmig konstant # x # und # y #Daher müssen wir die Werte für den Point of Interest nicht speziell berechnen.
Hinweis: Die Reihenfolge der Differenzierung spielt für Funktionen mit kontinuierlichen zweiten Ableitungen keine Rolle (Satz von Clairault, Anwendung hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), und wir erwarten dies # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #wie wir in unserem spezifischen Ergebnis oben sehen.
In diesem Fall mit zwei Variablen können wir die Art des Punktes von der Determinante des Hessischen ableiten. # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (Delydelx) = 4-1 = 3 #.
Eine Form des zu verabreichenden Tests ist hier angegeben:
Wir sehen, dass die Determinante ist #>0#, und so ist # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Also schließen wir das #(-3,3)#Der einzige Punkt der ersten Ableitung von Null ist ein lokales Minimum der Funktion.
Zur Überprüfung der Integrität einer eindimensionalen Funktion poste ich normalerweise den Graphen davon, aber Sokratisch verfügt nicht über eine für zweidimensionale Funktionen geeignete Oberfläche oder Konturdarstellung, soweit ich sehen kann. Also werde ich die beiden Funktionen überschreiben #f (-3, y) # und #f (x, 3) #, die nicht die gesamte Funktionsdomäne für uns charakterisieren, sondern uns das Minimum zwischen ihnen zeigen, das wie erwartet erscheint # y = 3 # und # x = -3 #, identischen Funktionswert # f = -5 # in jedem Fall.
Wie #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
Graph {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10,5, -6,7}
