Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)? Mehr Fragen

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Erläuterung:

Haftungsausschluss - Ich gehe davon aus # phi_0 #, # phi_1 # und # phi_2 # bezeichnen den Boden, den ersten angeregten und den zweiten angeregten Zustand des unendlichen Brunnens - die Zustände, die üblicherweise mit bezeichnet werden # n = 1 #, # n = 2 #, und # n = 3 #. So, # E_1 = 4E_0 # und # E_2 = 9E_0 #.

(d) Die möglichen Ergebnisse von Energiemessungen sind # E_0 #, # E_1 # und # E_2 # - mit Wahrscheinlichkeiten #1/6#, #1/3# und #1/2# beziehungsweise.

Diese Wahrscheinlichkeiten sind zeitunabhängig (mit der Zeit nimmt jedes Stück einen Phasenfaktor an - die Wahrscheinlichkeit, die durch das Modulus-Quadrat der Koeffizienten gegeben wird) ändert sich dadurch nicht.

(c) Der Erwartungswert ist # 6E_0 #. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Energiemessung dies ergibt, ist 0. Dies gilt für alle Zeiten.

Tatsächlich, # 6E_0 # ist kein Energieeigenwert - so dass eine Energiemessung diesen Wert niemals ergibt - egal in welchem Zustand.

(e) Unmittelbar nach der Messung ergibt sich # E_2 #Der Zustand des Systems wird durch die Wellenfunktion beschrieben

#psi_A (x, t_1) = phi_2 #

Beim #t_> t_1 #ist die Wellenfunktion

# psi_A (x, t) = phi_2 e ^ {- iE_2 / ℏ (t-t_1)} #

Der einzig mögliche Wert, den eine Energiemessung in diesem Zustand ergibt, ist # E_2 # - jederzeit # t_2> t_1 #.

(f) Die Wahrscheinlichkeiten hängen vom Quadratmodul der Koeffizienten ab - also

#psi_B (x, 0) = sqrt {1/6} phi_0-sqrt {1/3} phi_1 + isqrt {1/2} phi_2 #

wird funktionieren (es gibt unendlich viele mögliche Lösungen). Da sich die Wahrscheinlichkeiten nicht geändert haben, ist der Energieerwartungswert automatisch derselbe wie #psi_A (x, 0) #

(g) seit # E_3 = 16 E_0 #können wir einen Erwartungswert von erhalten # 6E_0 # wenn wir haben # E_1 # und # E_3 # mit Wahrscheinlichkeiten # p # und # 1-p # ob

# 6E_0 = pE_1 + (1-p) E_3 = 4pE_0 + 16 (1-p) E_0 impliziert #

# 16-12p = 6 impliziert p = 5/6 #

Also eine mögliche Wellenfunktion (wieder eine von unendlich vielen Möglichkeiten) ist

#psi_C (x, 0) = sqrt {5/6} phi_1 + sqrt {1/6} phi_3 #