Bitte helfen Sie mit jemandem, das Problem zu lösen.

Antworten:

Versuchen Sie die Änderung # x = tan u #

Siehe unten

Erläuterung:

Wir wissen das # 1 + tan ^ 2u = sec ^ 2u #

Durch die vorgeschlagene Änderung haben wir

# dx = sec ^ 2u du #. Lasst uns im Integral ersetzen

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu + C #

So machen Sie die Änderung rückgängig:

# u = arctanx # und endlich haben wir

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

Antworten:

#Farbe (blau) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Erläuterung:

Versuchen wir, trigonometrische Substitution zu verwenden, um dieses Integral zu lösen. Dazu konstruieren wir ein rechtwinkliges Dreieck #Delta ABC # und beschriften Sie die Seiten so, dass wir mit der Pythagoras-Formel die Ausdrücke ableiten können, die wir derzeit im Argument des Integrals sehen:

Winkel # / _ B = Theta # hat gegenüberliegende Seite # x # und angrenzende Seite #1#. Verwendung der Pythagoras-Formel:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # Ergebnisse in:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # wie gezeigt.

Nun schreiben wir die drei grundlegendsten trigonometrischen Funktionen für # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Jetzt müssen wir diese Gleichungen verwenden, um verschiedene Teile des integralen Arguments in trigonometrischen Begriffen aufzulösen. Lass uns benutzen # Tantheta #:

# tantheta = x #

Nehmen wir Ableitungen von beiden Seiten:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Von dem # costheta # Gleichung können wir lösen #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung zur Macht von erheben #3# wir bekommen:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Nun können wir ersetzen, was wir in das Problemintegral berechnet haben, um daraus ein trigonometrisches Integral zu machen:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (rot) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (rot) (sec ^ 2 theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intkosthetad theta = sintheta + C #

Jetzt können wir wieder ersetzen # sintheta # und verwandeln unsere Antwort in einen algebraischen Ausdruck in Bezug auf # x #:

#Farbe (blau) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #