Wie finden Sie die Asymptoten für y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Antworten:

Vertikale

# x = 1 #

# x = 3 #

Horizontal

# x = 1 # (für beide # + - oo #)

Schräg

Nicht existieren

Erläuterung:

Lassen # y = f (x) #

• Vertikale Asymptoten

Finden Sie die Grenzen der Funktion, da sie mit Ausnahme der Unendlichkeit an die Grenzen ihrer Domäne tendiert. Wenn ihr Ergebnis unendlich ist, dann # x # Linie ist eine Asymptote. Hier ist die Domain:

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Also die 4 möglich vertikale Asymptoten sind:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Asymptote # x-> 1 ^ - #

#lim_ (x -> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x -> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Vertikale Asymptote für # x = 1 #

Hinweis: für # x-1 # schon seit # x # etwas niedriger als 1 ist das Ergebnis etwas niedriger als 0, das Vorzeichen ist also negativ, daher die Note #0^-# was später zu einem negativen Vorzeichen führt.

Bestätigung für Asymptote # x-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Bestätigt

Asymptote # x-> 3 ^ - #

#lim_ (x -> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x -> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Vertikale Asymptote für # x = 3 #

Bestätigung für Asymptote # x-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Bestätigt

• Horizontale Asymptoten

Finden Sie beide Grenzen, je nachdem wie die Funktion aussieht # + - oo #

Minus unendlich #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> - oo) (aufheben (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (aufheben (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^) 2)) = lim (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontale Asymptote für # y = 1 #

Plus unendlich #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = lim_ (x -> + oo) (Löschen (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (löschen (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^) 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horizontale Asymptote für # y = 1 #

Hinweis: Es ist nur so, dass diese Funktion für beide eine gemeinsame Horizontale hat # -oo # und # + oo #. Sie sollten immer beide prüfen.

• Schräge Asymptoten

Sie müssen zuerst beide Grenzen finden:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Wenn diese Grenze eine reelle Zahl ist, existiert die Asymptote und die Grenze ist ihre Steigung. Das # y # Intercept von jedem ist das Limit:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Um uns jedoch die Mühe zu ersparen, können Sie einige Funktionen "Wissen" verwenden, um dies zu vermeiden. Da wissen wir #f (x) # hat horizontale Asymptote für beide # + - oo # Die einzige Möglichkeit, einen Schrägstrich zu haben, ist eine andere Linie als #x -> + - oo #. Jedoch, #f (x) # ist ein #1-1# Funktion, so können es nicht zwei sein # y # Werte für eins # x #Daher ist eine zweite Zeile nicht möglich, daher ist es unmöglich, schräge Asymptoten zu haben.