Wie lautet die Gleichung der Normalen von f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x bei x = 7?

Antworten:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Erläuterung:

Die Normalenlinie an einem Punkt ist die Linie senkrecht zu der Tangente an diesem Punkt. Wenn wir Probleme dieses Typs lösen, ermitteln wir anhand der Ableitung die Steigung der Tangentenlinie, ermitteln die Steigung der Normallinie und verwenden einen Punkt aus der Funktion, um die Normalengleichung zu finden.

Schritt 1: Steigung der Tangentenlinie

Alles, was wir hier tun, ist die Ableitung der Funktion und die Auswertung an # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Das bedeutet die Steigung der Tangente an # x = 7 # ist -532.

Schritt 2: Steigung der Normallinie

Die Steigung der Normallinie ist einfach das Gegenteil der Steigung der Tangentenlinie (weil diese beiden rechtwinklig sind). Also drehen wir einfach -532 und machen es positiv zu bekommen #1/532# als die Steigung der normalen Linie.

Letzter Schritt: Die Gleichung finden

Normale Liniengleichungen haben die Form # y = mx + b #, woher # y # und # x # sind Punkte auf der Linie, # m # ist die Steigung und # b # ist der # y #-abfangen. Wir haben die Steigung # m #was wir in Schritt zwei gefunden haben: #1/532#. Die Punkte # x # und # y # kann leicht durch Ersetzen gefunden werden # x = 7 # in die Gleichung und lösen für # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Jetzt können wir alle diese Informationen zum Suchen verwenden # b #, das # y #-abfangen:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Wir können dies auf -2009.013 approximieren, oder wenn wir es wirklich wollten, könnten wir es auch auf -2009 bringen.

Die Gleichung der Normalen ist also # y = 1 / 532x-2009.013 #.