Wie kann ich das beweisen? Wäre dies ein Satz aus der realen Analyse?

# "Definiere die Ableitung:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

#"Hier haben wir"#

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Das müssen wir beweisen" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"oder"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"oder"#

#h '(x_0) = 0 #

# "mit" h (x) = f (x) - g (x) #

#"oder"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"oder"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(aufgrund von" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Jetzt"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "wenn" h> 0 "und" lim> = 0 "wenn" h <0 #

# "Wir haben angenommen, dass f und g differenzierbar sind" #

# "so" h (x) = f (x) - g (x) "ist auch differenzierbar" #

# "also muss das linke Limit gleich dem rechten Limit sein, also" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Antworten:

Ich werde eine schnellere Lösung anbieten als die in http://socratic.org/s/aQZyW77G. Dafür müssen wir uns auf einige bekannte Ergebnisse aus dem Kalkül verlassen.

Erläuterung:

Definieren #h (x) = f (x) -g (x) #

Schon seit #f (x) le g (x) #, wir haben #h (x) le 0 #

Beim # x = x_0 #, wir haben #f (x_0) = g (x_0) #, damit #h (x_0) = 0 #

Somit # x = x_0 # ist ein Maximum der differenzierbaren Funktion #h (x) # Innerhalb das offene Intervall # (a, b) #. Somit

#h ^ '(x_0) = 0 impliziert #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) impliziert #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #