Sei a_n eine Sequenz, die gegeben ist durch: {1, 6, 15, 28, 45,66, ..., f (n)}. Zeigen Sie, dass die erzeugende Funktion f (n) die Form an ^ 2 + bn + c hat. Finden Sie die Formel durch Berechnen der Koeffizienten a, b, c?

Antworten:

#:. P_n ^ 6 = 2n ^ 2-n #

Erläuterung:

Strategie:

Nehmen Sie die angegebene Reihenfolge und finden Sie den Unterschied zwischen aufeinander folgenden Zahlen:

#P_n = {1,6,15,28,45,66, 91,120, cdots} #

Schritt 1 # rArr # Schicht 1

# {1,5,9,13,17,21, cdots} #

Schritt 2 # rArr # Schicht 2, Mach es nochmal

# {4, 4, 4, 4, 4, cdots} #

Die Differenz zu nehmen ist in der diskreten Mathematik die gleiche wie die Ableitung (d.h. die Steigung). nahm zwei Subtraktionen (zwei Schichten), bevor wir eine konstante Zahl erreichten #4#Das heißt, die Sequenz ist Polynomwachstum.

Gib das ich behaupte das: #P_n = an ^ 2 + bn + c #

Alles was ich jetzt tun muss, finde den Wert von #a, b und c #

Zu lösen für # a, b und c # Ich verwende die ersten 3 Einträge der Sequenzeinstellung #n = {1,2,3} #

# Eq.1 rArr ## P_1 = a + b + c = 1 #

# Eq.2 rArr ## P_2 = 4a + 2b + c = 6 #

# Eq.3 rArr ## P_3 = 9a + 3b + c = 15 #

# 1,1,1, 4,2,1, 9,3,1 xx a, b, c = 1, 6, fünfzehn#

Lösung a, b, c mit einem beliebigen Matrixrechner im Internet:

# a, b, c = 2, - 1, 0 #

#:. P_n ^ 6 = 2n ^ 2-n #

Prüfen: # P_1 ^ 6 = 1; P_2 ^ 6 = 6; P_3 ^ 6 = 15; # Checkt aus

PS: Sie können auch Python verwenden, ich habe Python einfach verwendet … Es ist cool