Was ist (3 + i) ^ (1/3) in einer + bi-Form gleich?

Antworten:

#wurzel (6) (10) cos (1/3 Arctan (1/3)) + Wurzel (6) (10) Sin (1/3 Arctan (1/3)) i #

Erläuterung:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # woher #alpha = arctan (1/3) #

So

#wurzel (3) (3 + i) = Wurzel (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = Wurzel (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = Wurzel (6) (10) cos (1/3 Arctan (1/3)) + Wurzel (6) (10) Sin (1/3 Arctan (1/3)) i #

Schon seit # 3 + i # In Q1 ist diese Hauptwürfelwurzel von # 3 + i # ist auch in Q1.

Die zwei anderen Würfelwurzeln von # 3 + i # sind mit der primitiven Complex-Würfelwurzel der Einheit ausdruckbar #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (Wurzel (6) (10) cos (1/3 Arctan (1/3)) + Wurzel (6) (10) Sin (1/3 Arctan (1/3)) i) #

# = Wurzel (6) (10) cos (1/3 Arctan (1/3) + (2pi) / 3) + Wurzel (6) (10) sin (1/3 Arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (Wurzel (6) (10) cos (1/3 Arctan (1/3)) + Wurzel (6) (10) Sin (1/3 Arctan (1/3)) i) #

# = Wurzel (6) (10) cos (1/3 Arctan (1/3) + (4pi) / 3) + Wurzel (6) (10) sin (1/3 Arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #