Integration von 1 / (1 + x ^ 3) dx? - Infinitesimalrechnung 2024

Antworten:

# 1 / 3l | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Erläuterung:

Beginnen Sie mit der Faktorisierung des Nenners:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Jetzt können wir Teilbrüche machen:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x) +1) #

Wir können finden #EIN# mit der Vertuschungsmethode:

# A = 1 / ((Text (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Als nächstes können wir beide Seiten mit dem LHS-Nenner multiplizieren:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Dies ergibt die folgenden Gleichungen:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Das bedeutet, dass wir unser ursprüngliches Integral neu schreiben können:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Das erste Integral kann mit einer expliziten u-Substitution ausgeführt werden, es ist jedoch ziemlich klar, dass die Antwort lautet #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Wir können das verbleibende Integral in zwei Teile aufteilen:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Der Grund für die Trickserei beim Multiplizieren und Dividieren durch #2# soll den linker Nenner einfacher machen, um die u-Substitution zu verwenden.

Ich werde das linke Integral 1 und das rechte Integral 2 nennen

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Da wir dieses Integral bereits für die Substitution vorbereitet haben, müssen wir nur die Substitution vornehmen # u = x ^ 2-x + 1 #und die Ableitung ist # 2x-1 #, so teilen wir uns das in Bezug auf # u #:

#int cancel (2x-1) / (cancel (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Wir möchten dieses Integral in die Form bringen:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Dazu müssen wir das Quadrat für den Nenner ausfüllen:

# x ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Wir möchten eine U-Substitution einführen, mit der:

# (x-1/2) ^ 2 = 3/4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u + 1/2 #

Wir multiplizieren mit der Ableitung in Bezug auf # u # in Bezug auf integrieren # u #:

# dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Vervollständigung des ursprünglichen Integrals

Nun, da wir die Antwort auf Integral 1 und Integral 2 kennen, können wir sie wieder in den ursprünglichen Ausdruck einfügen, um unsere endgültige Antwort zu erhalten:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1/3 ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Antworten:

# 1/3 In (x + 1) -1 / 6 In (x ^ 2 - x + 1) + (sqrt3) / 3 arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Erläuterung:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1/3 In (x + 1) -1 / 6 In (x ^ 2 - x + 1) + (sqrt3) / 3 arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #

Was ist die Integration von 1 / log (sqrt (1-x))?

Hier ist log ln .. Antwort: (2sum ((- 1) ^ (n-1)) / n (x / ln (1-x)) ^ n, n = 1, 2, 3, ..oo) + C .. = 2ln (1 + x / (In (1-x))) + C, | x / (In (1-x)) | <1 Verwenden Sie intu dv = uv-intv du nacheinander. inti / (lnsqrt (1-x) dx = 2int1 / ln (1-x) dx = 2 [x / ln (1-x) -intxd (1 / ln (1-x)))] = 2 [[x / ln (1-x) -intx / (ln (1-x)) ^ 2 dx] = 2 [[x / ln (1-x) -int1 / (ln (1-x)) ^ 2d (x ^) 2/2)] usw. Die ultimative unendliche Reihe erscheint als Antwort: Ich muss noch das Konvergenzintervall für die Reihe studieren. Ab sofort gilt | x / (ln (1-x)) | <1 Das Intervall für x regelt aus dieser Ungleichung das Interval

Was ist die Integration von 1 / x?

Int 1 / x dx = ln abs x + C Der Grund hängt davon ab, welche Definition von ln x Sie verwendet haben. Ich bevorzuge: Definition: lnx = int_1 ^ x 1 / t dt für x> 0 Nach dem Fundamentalsatz von Kalkül erhalten wir: d / (dx) (lnx) = 1 / x für x> 0 Daraus und der Kettenregel erhalten wir auch d / (dx) (ln (-x)) = 1 / x für x <0 In einem Intervall, das 0 ausschließt, ist der Gegenwert von 1 / x lnx, wenn das Intervall aus positiven Zahlen besteht und ln ist (-x) wenn das Intervall aus negativen Zahlen besteht. In Abs x werden beide Fälle behandelt.

Was ist die Integration von (dx) / (x.sqrt (x ^ 3 + 4))?

1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2} / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Ersetzen Sie x ^ 3 + 4 = u ^ 2. Dann 3x ^ 2dx = 2udu, so dass dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = {2udu} / {3x ^ 3u} = 2/3 {du} / (u ^ 2-4) = 1 / 6 ({du} / {u-2} - {du} / {u + 2}) Also ist int dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = 1/6 int ({du} / {u- 2} - {du} / {u + 2}) = 1/6 ln | {u-2} / {u + 2} | + C = 1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2 } / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C