Antworten:
Lokal: #x = -2, 0, 2 #
Global: #(-2, -32), (2, 32)#
Erläuterung:
Um Extrema zu finden, findest du nur Punkte wo #f '(x) = 0 # oder ist undefiniert. So:
# d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 #
Um dies zu einem Machtregelproblem zu machen, schreiben wir neu # 48 / x # wie # 48x ^ -1 #. Jetzt:
# d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 #
Nun nehmen wir einfach diese Ableitung. Wir enden mit:
# 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 #
Wieder von negativen Exponenten zu Brüchen:
# 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 #
Wir können bereits sehen, wo eines unserer Extreme auftreten wird: #f '(x) # ist undefiniert um #x = 0 #, wegen dem # 48 / x ^ 2 #. Das ist also eines unserer Extreme.
Als Nächstes lösen wir nach den anderen. Zu Beginn multiplizieren wir beide Seiten mit # x ^ 2 #, nur um uns von der Fraktion zu befreien:
# 3x ^ 4 - 48 = 0 #
# => x ^ 4 - 16 = 0 #
# => x ^ 4 = 16 #
# => x = ± 2 #
Wir haben 3 Orte, an denen Extreme auftreten: #x = 0, 2, -2 #. Um herauszufinden, was unsere globalen (oder absoluten) Extreme sind, fügen wir diese in die ursprüngliche Funktion ein:
So unser absolutes Minimum ist der Punkt #(-2, -32)#während unser absolutes Maximum ist #(2, -32)#.
Hoffentlich hilft das:)
