Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Ich habe keine Sattelpunkte gefunden, aber es gab ein Minimum:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Um das Extrem zu finden, nehmen Sie die partielle Ableitung in Bezug auf # x # und # y # um zu sehen, ob beide partiellen Ableitungen gleichzeitig gleich sein können #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Wenn sie gleichzeitig gleich sein müssen #0#sie bilden eine Gleichungssystem:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Diese linear System von Gleichungen, wenn subtrahiert, um abzubrechen # y #gibt:

# 3x - 1 = 0 => Farbe (grün) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => Farbe (grün) (y = -2/3) #

Da die Gleichungen linear waren, gab es nur einen kritischen Punkt und somit nur ein Extremum. Die zweite Ableitung sagt uns, ob es ein Maximum oder Minimum war.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Diese zweiten Teiltöne stimmen überein, also ist der Graph entlang der # x # und # y # Achsen.

Der Wert von #f (x, y) # am kritischen Punkt ist (durch Einstecken in die ursprüngliche Gleichung):

#Farbe (grün) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = Farbe (grün) (- 1/3) #

Also haben wir eine Minimum von #Farbe (blau) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Nun für die Kreuzderivate um nach Sattelpunkten zu suchen, die entlang einer diagonalen Richtung liegen könnten:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Da diese ebenfalls übereinstimmen, gibt es keine gegensätzlichen Zeichen kein Sattelpunkt.

Wir können sehen, wie dieser Graph aussieht, nur um zu überprüfen: