Antworten:
Die Stelle # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) etwa (1.26694,1.16437) # ist ein lokaler Mindestpunkt.
Erläuterung:
Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind # (partielles f) / (partielles x) = y-3x ^ {- 4} # und # (partielles f) / (partielles y) = x-2y ^ {- 3} #. Wenn Sie beide auf Null setzen, werden im System Ergebnisse angezeigt # y = 3 / x ^ (4) # und # x = 2 / y ^ {3} #. Das Ersetzen der ersten Gleichung in die zweite ergibt # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Schon seit #x! = 0 # in der Domäne von # f #, das führt zu # x ^ {11} = 27/2 # und # x = (27/2) ^ {1/11} # damit # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind # (teilweise ^ {2} f) / (teilweise x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (teilweise ^ {2} f) / (teilweise y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, und # (partiell ^ {2} f) / (partielles x partielles y) = (partielles ^ {2} f) / (partielles y partielles x) = 1 #.
Die Diskriminante ist daher # D = (teilweise ^ {2} f) / (teilweise x ^ {2}) * (teilweise ^ {2} f) / (teilweise y ^ {2}) - ((teilweise ^ {2} f) / (partielles x partielles y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Dies ist im kritischen Punkt positiv.
Da auch die reinen (nicht gemischten) partiellen Ableitungen zweiter Ordnung positiv sind, folgt daraus, dass der kritische Punkt ein lokales Minimum ist.
