Was ist die momentane Geschwindigkeit in einer Grafik?

Vorausgesetzt, dass der Graph eine Entfernung als Funktion der Zeit ist, repräsentiert die Steigung der an einem bestimmten Punkt tangierenden Linie die Funktion der momentanen Geschwindigkeit an diesem Punkt.

Um einen Eindruck von dieser Steigung zu bekommen, muss man verwenden Grenzen. Nehmen wir beispielsweise an, man erhält eine Distanzfunktion #x = f (t) #und man möchte die augenblickliche Geschwindigkeit oder die Änderungsrate der Entfernung an dem Punkt finden # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, es hilft, zuerst einen anderen nahe gelegenen Punkt zu untersuchen, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, woher #ein# ist eine beliebig kleine Konstante. Die Steigung der Sekantenlinie Das Durchlaufen des Graphen an diesen Punkten ist:

# f (t_0 + a) -f (t_0) / a #

Wie # p_1 # Ansätze # p_0 # (was als unser auftreten wird #ein# sinkt), unser oben #Differenz Quotient# wird eine Grenze erreichen, hier bezeichnet # L #, das ist die Steigung der Tangente an dem gegebenen Punkt. An diesem Punkt kann eine Punkt-Steigungs-Gleichung, die unsere obigen Punkte verwendet, eine genauere Gleichung liefern.

Wenn man statt dessen vertraut ist Unterscheidungund die Funktion ist bei dem angegebenen Wert von sowohl stetig als auch unterscheidbar # t #Dann können wir die Funktion einfach unterscheiden. Vorausgesetzt, dass die meisten Distanzfunktionen sind Polynomfunktionenvon der Form #x = f (t) = at ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # diese können mit der unterschieden werden Machtregel was sagt das für eine Funktion #f (t) = um ^ n, (df) / dt # (oder #f '(t) #) = # (n) um ^ (n-1) #.

Also für unsere allgemeine Polynomfunktion oben, #x '= f' (t) = (n) bei ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Beachten Sie das seit #t = t ^ 1 # (da jede Zahl, die auf die erste Potenz angehoben wird, sich selbst entspricht), bleibt die Reduzierung der Potenz um 1 übrig # t ^ 0 = 1 #Deshalb ist der letzte Begriff einfach # y #. Beachten Sie auch das unser # z # Begriff, eine Konstante, hat sich in Bezug auf nicht geändert # t # und wurde daher zur Differenzierung verworfen).

Diese #f '(t) # ist die Ableitung der Distanzfunktion in Bezug auf die Zeit; Daher misst es die Änderungsrate der Entfernung in Bezug auf die Zeit, die einfach die Geschwindigkeit ist.