Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Wir haben:

# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #

Schritt 2 - Identifizieren Sie kritische Punkte

Ein kritischer Punkt tritt bei einer gleichzeitigen Lösung von auf

# f_x = f_y = 0 iff (partielles f) / (partielles x) = (partielles f) / (partielles y) = 0 #

wenn also:

# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)), = 0, … B):}} # gleichzeitig

Woraus können wir feststellen:

# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #

# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #

Daher verlangen wir das:

# y / (2x) = x / (2y) #

#:. x ^ 2 = y ^ 2 #

Dann haben wir zwei (unendliche Ebenen) Lösungen:

#:. x = + - y #

Wir schließen daraus, dass es unendlich viele kritische Punkte entlang der gesamten Länge des Schnittpunkts der Kurve und der beiden Ebenen gibt #x = + - y #

Schritt 3 - Klassifizieren Sie die kritischen Punkte

Um die kritischen Punkte zu klassifizieren, führen wir einen Test durch, der dem eines Variablenkalküls ähnlich ist, wobei die zweiten partiellen Ableitungen und die Hessische Matrix verwendet werden.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partielles x partielles y)), ((partiell ^ 2f) / (partielles y partielles x), (partiell ^ 2f) / (teilweise y ^ 2)) | #

# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Dann abhängig vom Wert von #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Es gibt Maximum, wenn" f_ (xx) <0), (, ") und ein Minimum, wenn" f_ (xx)> 0) ist, (Delta <0, "es gibt einen Sattelpunkt")), (Delta = 0, "Weitere Analyse erforderlich"):} #

# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xy ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #

# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #

Wir müssen das Zeichen von betrachten #Delta#und wir merken das # e ^ z gt 0 AA z in RR #, also müssen Sie nur das Zeichen beachten:

# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #

Also abhängig vom Zeichen #Delta'# Wir haben unendlich viele Maxima und Sattelpunkte entlang der Ebenen #x = + - y #

Hier ist eine Darstellung der Funktion

Und hier ist eine Darstellung der Funktion einschließlich der Ebenen #x = + - y #