Antworten:
Lösung: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #
Erläuterung:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # oder
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # oder
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # oder
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) + 5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # oder
# (4 cos (x / 2) + 5) (5 cos (x / 2) -3) = 0: #. Entweder
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 oder (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # oder
# cos (x / 2)! = 5/4 # seit bereich von #cos x # ist #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # oder
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
Ebenfalls #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~ 106,26 ^ 0 #
und # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Lösung: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # ANS
Antworten:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # ganze Zahl # k #
Erläuterung:
Beginnen wir mit dem Ersetzen # y = x / 2 # die gebrochenen Winkel loswerden.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
Die bevorzugte Form der Cosinus-Doppelwinkelformel ist
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
Ersetzen, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Das ist ein schmerzhafter Faktor, aber eine kleine Suche kommt mit
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 oder cos y = -5 / 4 #
Wir können den Cosinus außerhalb des Bereichs ignorieren.
#cos y = 3/5 #
Wir können die Doppelwinkelformel verwenden:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = Arccos (-7/25) #
Das ist ein pythagoräisches Triple #7^2+24^2=25^2# so können wir versuchen, das als zu schreiben # arctan (pm 24/7) # aber das sind mehr fremde Wurzeln.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # ganze Zahl # k #
Prüfen:
Wir werden ein Paar mit einem Taschenrechner überprüfen.
# x = Text {Arc} Text {Cos} (- 7/25) ca. 106.260205 ^ Zirkel #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 mal 10 ^ {- 8} quad sq #
Lassen Sie uns 360 hinzufügen und noch einmal überprüfen:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 Vierfach # FUNKTIONIERT NICHT.
Aufgrund des halben Winkels scheint die richtige Antwort zu sein
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # ganze Zahl # k #
