Antworten:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Erläuterung:
Damit dieses Problem sinnvoll ist # 4-9x ^ 2> = 0 #, so # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Deshalb können wir eine auswählen # 0 <= u <= pi # so dass # x = 2 / 3cosu #. Damit können wir die Variable x im Integral mit subsutieren # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # hier benutzen wir das # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # und das für # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Jetzt verwenden wir die Integration nach Teilen, um zu finden # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Deshalb # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Also haben wir gefunden #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #Jetzt ersetzen wir # x # zurück für # u #mit # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, so #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (-1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) + c #.
Wir können dies weiter vereinfachen, indem wir die Definition von Sinus und Cosinus in Form von Dreiecken verwenden. Für ein rechtwinkliges Dreieck # u # an einer der nicht rechten Ecken, # sinu = "gegenüberliegende Seite" / "längste Seite" #während # cosu = "benachbarte Seite" / "längste Seite" #, da wir wissen # cosu = (3x) / 2 #können wir die angrenzende Seite auswählen # 3x # und die längste Seite zu sein #2#. Mit dem Satz von Pythagoras finden wir die gegenüberliegende Seite #sqrt (4-9x ^ 2) #, so #sin (cos ^ (-1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Deshalb #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
