Antworten:
# dy / dx = -20 / 21 #
Erläuterung:
Sie müssen die Grundlagen der impliziten Differenzierung für dieses Problem kennen.
Wir wissen, dass die Steigung der Tangente an einem Punkt die Ableitung ist. Der erste Schritt wird also die Ableitung sein. Lass es uns Stück für Stück machen, beginnend mit:
# d / dx (3y ^ 2) #
Dieser ist nicht zu schwer; Sie müssen nur die Kettenregel und die Machtregel anwenden:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Jetzt auf # 4xy #. Wir werden die Power-, Ketten- und Produktregeln für diese Regel benötigen:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Produktregel: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Okay, endlich # x ^ 2y # (mehr Produkt-, Leistungs- und Kettenregeln):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Nachdem wir nun alle unsere Derivate gefunden haben, können wir das Problem folgendermaßen ausdrücken:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Denken Sie daran, dass die Ableitung einer Konstanten ist #0#).
Jetzt sammeln wir Bedingungen mit # dy / dx # auf der einen Seite und alles andere auf die andere verschieben:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Jetzt müssen Sie nur noch einstecken #(2,5)# um unsere Antwort zu finden:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# dy / dx = - (4 (5) + 2 (2) (5)) / (6 (5) + 4 (2) + (2) ^ 2) #
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
