Wie findet man die Inverse von A = ((2, 4, 1), (- 1, 1, -1), (1, 4, 0))?

Antworten:

Die invertierte Matrix ist: #((-4,-4,5),(1,1,-1),(5,4,-6))#

Erläuterung:

Es gibt viele Möglichkeiten in invertierten Matrizen, aber für dieses Problem habe ich die Cofactor-Transponierungsmethode verwendet.

Wenn wir uns das vorstellen

#A = ((vecA), (vecB), (vecC)) #

Damit:

#vecA = (2,4,1) #

#vecB = (-1,1, -1) #

#vecC = (1,4,0) #

Dann können wir wechselseitige Vektoren definieren:

#vecA_R = vecB xx vecC #

#vecB_R = vecC xx vecA #

#vecC_R = vecA xx vecB #

Jeder kann leicht anhand der Determinantenregel für Kreuzprodukte berechnet werden:

#vecA_R = | (hati, hatj, hatk), (- 1,1, -1), (1,4,0) | = (4, -1, -5) #

#vecB_R = | (hati, hatj, hatk), (- 1,4,0), (2,4,1) | = (4, -1, -4) #

#vecC_R = | (hati, hatj, hatk), (2,4,1), (- 1,1, -1) | = (-5,1,6) #

Wir können diese nutzen, um die Transposition des Cofaktors zu konstruieren # M #, # barM #, so wie:

#barM = ((vecA_R ^ T, vecB_R ^ T, vecC_R ^ T)) = ((4,4, -5), (-1, -1,1), (-5, -4,6)) #

Die reziproken Vektoren und die Cofaktor-Transponierungsmatrix haben zwei interessante Eigenschaften:

# vecA * vecA_R = vecB * vecB_R = vecC * vecC_R = det (M) #

und

# M ^ -1 = barM / detM #

So können wir das feststellen:

#det (M) = vecC * vecC_R = (1,4,0) * (- 5,1,6) = -1 #

Das bedeutet, dass:

# M ^ -1 = -barM / 1 = - ((4,4, -5), (-1, -1,1), (-5, -4,6)) = ((-4, -4), 5), (1,1, -1), (5,4, -6)) #