Antworten:
# "Hier gibt es keine einfache Faktorisierung. Nur eine allgemeine Methode" #
# "Das Lösen einer kubischen Gleichung kann uns hier helfen." #
Erläuterung:
# "Wir könnten eine Methode anwenden, die auf der Ersetzung von Vieta basiert." #
# "Division durch den ersten Koeffizienten ergibt:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Ersetzen von x = y + p" in "x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c" ergibt: "#
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "wenn wir" 3p + a = 0 "oder" p = -a / 3 "nehmen, der erste Koeffizient" # # "wird zu Null und wir erhalten:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(mit" p = -2/3 ")" #
# "Ersetzen von" y = qz "in" y ^ 3 + b y + c = 0 "ergibt:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "Wenn wir" q = sqrt (| b | / 3) "nehmen, wird der Koeffizient von z" #
# "3 oder -3 und wir bekommen:" #
# "(hier" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Ersetzen" z = t + 1 / t ", ergibt:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Ersetzen von" u = t ^ 3 "ergibt die quadratische Gleichung:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind komplex." #
# "Dies bedeutet, dass wir 3 echte Wurzeln in unserer kubischen Gleichung haben." #
# "Eine Wurzel dieser quadratischen Gleichung ist" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Ersetzen der Variablen zurück, ergibt:" #
#t = Wurzel3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + i sin (-0,93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1,19500526 + i 0,0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Die anderen Wurzeln können durch Teilen und Lösen der" # # "verbleibende quadratische Gleichung." #
# "Die anderen Wurzeln sind real: -3.87643981 und 0.61210551." #
Antworten:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
woher:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Erläuterung:
Gegeben:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Beachten Sie, dass dies viel leichter faktorisiert wird, wenn die Frage einen Tippfehler enthält.
Zum Beispiel:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-Farben (rot) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + Farbe (rot) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Wenn die Kubik in der gegebenen Form korrekt ist, können wir ihre Nullen und Faktoren wie folgt finden:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus-Transformation
Um die Lösung des Cubic zu vereinfachen, vereinfachen wir den Cubic durch eine lineare Substitution, die als Tschirnhaus-Transformation bezeichnet wird.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
woher # t = (6x + 4) #
Trigonometrische Substitution
Schon seit #f (x) # hat #3# echte Nullen, Cardanos Methode und ähnliches führen zu Ausdrücken, die irreduzible Kubikwurzeln komplexer Zahlen enthalten. Ich ziehe es vor, unter solchen Umständen stattdessen einen trigonometrischen Ersatz zu verwenden.
Stellen:
#t = k cos theta #
woher #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Dann:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (weiß) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#Farbe (weiß) (0) = 94k (4 cos ^ 3 Theta - 3 cos Theta) + 1712 #
#Farbe (weiß) (0) = 94k cos 3 Theta + 1712 #
So:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
So:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
So:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
So:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ - (-1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Welche gibt #3# eindeutige Nullen der kubischen in # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # zum #n = 0, 1, 2 #
Dann:
#x = 1/6 (t-4) #
Die drei Nullen des gegebenen Cubic sind also:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
mit ungefähren Werten:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
