Was sind die absoluten Extrema von f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) in [0,20]?

Antworten:

Das absolute Minimum ist #0#, was bei auftritt #x = 0 # und # x = 20 #.

Das absolute Maximum ist # 15 Wurzel (3) 5 #, was bei auftritt #x = 5 #.

Erläuterung:

Die möglichen Punkte, die absolute Extreme sein könnten, sind:

Wendepunkte; Punkte, wo # dy / dx = 0 #

Die Endpunkte des Intervalls

Wir haben bereits unsere Endpunkte (#0# und #20#), so finden wir unsere Wendepunkte:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1/3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Es gibt also einen Wendepunkt wo #x = 5 #. Dies bedeutet, dass die 3 möglichen Punkte, die Extrema sein könnten, sind:

#x = 0 "" "x = 5" "" x = 20 #

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Stecken Sie diese Werte in ein #f (x) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = Farbe (rot) 0 #

#f (5) = (5) ^ (1/3) (20 - 5) = Wurzel (3) (5) * 15 = Farbe (rot) (15 Wurzel (3) 5 #

#f (20) = (20) ^ (1/3) (20-20) = Wurzel (3) (20) * 0 = Farbe (rot) 0 #

Daher auf das Intervall #x in 0, 20 #:

Das absolute Minimum ist #color (rot) 0 #, was bei auftritt #x = 0 # und # x = 20 #.

Das absolute Maximum ist #farbe (rot) (15 wurzel (3) 5) #, was bei auftritt #x = 5 #.

Endgültige Antwort