Wie lautet die Formel, um die Fläche eines regulären Zwölfecks zu finden?

Antworten:

#S _ ("reguläres Zwölfeck") = (3 / (tan 15 ^ @)) "Seite" ^ 2 ~ = 11.196152 * "Seite" ^ 2 #

Erläuterung:

Wenn wir an ein regelmäßiges Zwölfeck denken, das in einen Kreis eingeschrieben ist, sehen wir, dass es aus 12 gleichschenkligen Dreiecken besteht, deren Seiten der Radius des Kreises, der Kreisradius und die Zwölfeckseite sind. In jedem dieser Dreiecke ist der Winkel, der der Seite des Zwölfecks entgegengesetzt ist, gleich #360^@/12=30^@#; Die Fläche jedes dieser Dreiecke beträgt # ("side" * "height) / 2 #Wir müssen nur die Höhe senkrecht zum Zwölfeck bestimmen, um das Problem zu lösen.

In dem erwähnten gleichschenkligen Dreieck, dessen Basis die Seite des Zwölfecks ist und dessen gleiche Seiten die Radien des Kreises sind, deren Winkel der Basis gegenüberliegt (#Alpha#) entspricht #30^@#Es gibt nur eine Linie aus dem Scheitelpunkt, in der sich die Radien des Kreises treffen (Punkt C), das die Seite des Zwölfecks senkrecht abfängt: Diese Linie halbiert den Winkel #Alpha# und definiert die Höhe des Dreiecks zwischen dem Punkt C und dem Punkt, an dem die Basis abgefangen wird (Punkt M), teilt die Basis in zwei gleiche Teile auf (alle, weil die beiden kleineren Dreiecke deckungsgleich sind).

Da die beiden genannten kleineren Dreiecke richtig sind, können wir die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks folgendermaßen bestimmen:

#tan (alpha / 2) = "Gegenkathet" / "Nachbarkathet" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("Seite" / 2) / "Höhe" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Dann haben wir

#S_ (Zwölfeck) = 12 * S_ (Dreieck) = 12 * (("Seite") ("Höhe")) / 2 = 6 * ("Seite") ("Seite") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (Zwölfeck) = 3 * ("Seite") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #