Wie identifizieren Sie den Typ der Kegelform 4x ^ 2 + 8y ^ 2-8x-24 = 4, wenn vorhanden und wenn die Gleichung eine Kegelform darstellt, geben Sie ihren Scheitelpunkt oder Mittelpunkt an?

Antworten:

Eine Ellipse

Kegel können als dargestellt werden

#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #

woher #p = {x, y} # und

#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.

Für Kegel #m_ {12} = m_ {21} # dann # M # Eigenwerte sind immer real, da die Matrix symetrisch ist.

Das charakteristische Polynom ist

#p (Lambda) = Lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) Lambda + det (M) #

Je nach ihren Wurzeln kann der Kegel als klassifiziert werden

1) Gleich - Kreis

2) Gleiches Vorzeichen und unterschiedliche Absolutwerte - Ellipse

3) Zeichen anders - Hyperbel

4) Eine Nullwurzel --- Parabel

Im vorliegenden Fall haben wir

#M = ((4,0), (0,8)) #

mit charakteristischem Polynom

# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #

mit wurzeln #{4,8}# also haben wir eine ellipse.

Als Ellipse gibt es eine kanonische Darstellung dafür

# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #

# x_0, y_0, a, b # kann wie folgt bestimmt werden

# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28 - (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 für alle x in RR #

geben

# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #

Lösung bekommen wir

# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #

# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} Äquivalent {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #