Warum können wir x ^ x nicht integrieren?

Antworten:

Wir haben keine Regel dafür.

Erläuterung:

Bei Integralen haben wir Standardregeln. Anti-Ketten-Regel, Anti-Produkt-Regel, Anti-Macht-Regel und so weiter. Aber wir haben keine Funktion für eine Funktion, die eine hat # x # sowohl in der Basis als auch in der Macht. Wir können die Ableitung davon gut verstehen, aber es ist unmöglich zu versuchen, das Integral zu übernehmen, weil es an Regeln fehlt, mit denen es funktionieren würde.

Wenn Sie den Desmos Graphing Calculator öffnen, können Sie versuchen, eine Verbindung herzustellen

# int_0 ^ x a ^ ada #

und es wird es gut darstellen. Wenn Sie jedoch versuchen, die Anti-Power-Regel oder Anti-Exponent-Regel zu verwenden, um eine Grafik dagegen zu erstellen, werden Sie feststellen, dass diese fehlschlägt. Als ich versuchte, es zu finden (woran ich noch arbeite), war es mein erster Schritt, es von diesem Formular weg zu bringen und folgendes zu tun:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Dies erlaubt uns im Wesentlichen, die Regeln des Kalküls etwas besser zu verwenden. Aber auch bei der Integration von Parts wird das Integral nie wirklich los. Daher erhalten Sie nicht wirklich eine Funktion, um sie zu bestimmen.

Aber wie immer in Mathe macht es Spaß zu experimentieren.Also, machen Sie weiter und versuchen Sie es, aber nicht zu lang oder schwer, Sie werden in dieses Kaninchenloch gesaugt.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

#y = x ^ x # kann integriert werden. Zum Beispiel

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0,783430510712135 … #

eine andere Sache ist, jetzt Tage zu haben, eine Funktion #f (x) # die in geschlossener Form das Urbild für darstellt # x ^ x # oder mit anderen Worten, dass

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Wenn dies eine Funktion des allgemeinen Gebrauchs bei technisch-wissenschaftlichen Problemen wäre, hätten wir sicherlich einen differenzierten Namen und ein Symbol erfunden, um es zu manipulieren. Wie die Lambert-Funktion definiert als

#W (x) = x e ^ x #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Wie Cesareo angedeutet hat (ohne zu sagen), gibt es einige Unklarheiten in "Wir können nicht integrieren".

Die Funktion #f (x) = x ^ x # ist ständig an # (0, oo) #

und weiter # 0, oo) # wenn wir machen #f (0) = 1 #also lass uns das tun. Daher das definitive Integral

# int_a ^ b x ^ x dx # existiert für alle # 0 <= a <= b #

Darüber hinaus sagt uns der fundamentale Satz von Calulus über die Funktion # int_0 ^ x t ^ t dt # hat Derivat # x ^ x # zum #x> = 0 #

Was wir nicht tun können, ist, diese Funktion in einer schönen, endlichen, geschlossenen Form algebraischer Ausdrücke (oder sogar transzendentalen Funktionen) auszudrücken.

Es gibt viele Dinge in der Mathematik, die nicht in einer Form ausgedrückt werden können, die sukzessive bessere Annäherungen zulässt.

Zum Beispiel:

Die Zahl, deren Quadrat ist #2# kann nicht in dezimaler oder gebrochener Form mit einem endlichen Ausdruck ausgedrückt werden. Also geben wir ihm ein Symbol, # sqrt2 # und nähern Sie es mit einem beliebigen Genauigkeitsgrad.

Das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises kann nicht endlich mit einer endlichen algebraischen Kombination ganzer Zahlen ausgedrückt werden, daher geben wir ihm einen Namen. #Pi# und nähern Sie es mit einem beliebigen Genauigkeitsgrad.

Die Lösung für # x = cosx # kann auch auf jeden gewünschten Genauigkeitsgrad angenähert werden, kann jedoch nicht endgültig ausgedrückt werden. Diese Nummer ist (vielleicht) nicht wichtig genug, um einen Namen zu bekommen.

Wie Cesareo gesagt hat, wenn das Integral von # x ^ x # hatte viele Anwendungen, Mathematiker würden einen Namen dafür annehmen.

Berechnungen würden jedoch immer noch eine unendliche Annäherung erfordern.