Wie lösen Sie das System x ^ 2 + y ^ 2 = 9 und x-3y = 3?

Antworten:

Es gibt zwei Lösungen für dieses System: die Punkte #(3,0)# und #(-12/5, -9/5)#.

Erläuterung:

Dies ist ein interessantes Gleichungssystemproblem, da es pro Variable mehr als eine Lösung gibt.

Warum dies geschieht, können wir jetzt analysieren. Die erste Gleichung ist die Standardform für einen Kreis mit Radius #3#. Die zweite ist eine etwas unordentliche Gleichung für eine Linie. Aufgeräumt würde es so aussehen:

#y = 1/3 x - 1 #

Wenn wir also berücksichtigen, dass eine Lösung für dieses System ein Punkt sein wird, an dem sich Linie und Kreis schneiden, sollten wir nicht überrascht sein, dass es zwei Lösungen gibt. Eine, wenn die Linie in den Kreis eintritt, und eine andere, wenn sie verlässt. Siehe diese Grafik:

Graph {(x ^ 2 + y ^ 2-9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Zuerst beginnen wir mit der Manipulation der zweiten Gleichung:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Wir können dies direkt in die erste Gleichung einfügen, nach der es zu lösen ist # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Diese Gleichung hat offensichtlich zwei Lösungen. Eins für #y = 0 # und noch ein für # 9 + 5y = 0 # was bedeutet #y = -9 / 5 #.

Jetzt können wir das lösen # x # bei jedem von diesen # y # Werte.

Ob # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Ob #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Unsere zwei Lösungen sind also die Punkte: #(3,0)# und #(-12/5, -9/5)#. Wenn Sie auf die Grafik zurückblicken, können Sie sehen, dass diese eindeutig den zwei Punkten entsprechen, an denen die Linie den Kreis kreuzte.