Was ist die Ableitung von cot ^ 2 (x)?

ANTWORTEN

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

ERLÄUTERUNG

Sie würden die Kettenregel verwenden, um dieses Problem zu lösen. Dazu müssen Sie bestimmen, was die "äußere" Funktion ist und was die "innere" Funktion in der äußeren Funktion ist.

In diesem Fall, #cot (x) # ist die "innere" Funktion, die als Teil der # cot ^ 2 (x) #. Um es anders zu sehen, bezeichnen wir es # u = Babybett (x) # damit # u ^ 2 = cot ^ 2 (x) #. Merkst du, wie die Composite-Funktion hier funktioniert? Die "äußere" Funktion von # u ^ 2 # quadriert die innere Funktion von # u = Babybett (x) #. Die äußere Funktion bestimmt, was mit der inneren Funktion passiert ist.

Lass das nicht # u # verwirren Sie, es ist nur um Ihnen zu zeigen, wie eine Funktion aus der anderen besteht. Sie müssen es nicht einmal benutzen. Sobald Sie das verstanden haben, können Sie daraus ableiten.

Die Kettenregel lautet:

#F '(x) = f' (g (x)) (g '(x)) #

Oder in Worten:

die Ableitung der äußeren Funktion (mit der inneren Funktion allein!) mal die Ableitung der inneren Funktion.

1) Die Ableitung der äußeren Funktion # u ^ 2 = cot ^ 2 (x) # (mit der inneren Funktion allein gelassen) ist:

# d / dx u ^ 2 = 2u #

(Ich verlasse das # u # Im Moment können Sie aber in # u = Babybett (x) # Wenn Sie möchten, während Sie die Schritte machen. Denken Sie daran, dass dies nur Schritte sind. Die tatsächliche Ableitung der Frage wird unten angezeigt.

2) Die Ableitung der inneren Funktion:

# d / dx cot (x) = d / dx 1 / tan (x) = d / dx sin (x) / cos (x) #

Abwarten! Sie müssen hier eine Quotientenregel anwenden, es sei denn, Sie haben die Ableitung von gespeichert #cot (x) #

# d / dx cos (x) / sin (x) = (- sin ^ 2 (x) -cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = - (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = -1 / (sin ^ 2 (x)) = -csc ^ 2 (x) #

Kombinieren der zwei Schritte durch Multiplikation, um die Ableitung zu erhalten:

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #