Frage # f8e6c

Antworten:

Drücken Sie es als geometrische Reihe aus, um die Summe zu finden #12500/3#.

Erläuterung:

Lassen Sie uns dies als Summe ausdrücken:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Schon seit #1.12=112/100=28/25#ist das äquivalent zu:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Mit der Tatsache, dass # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, wir haben:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Auch können wir das ziehen #500# aus dem Summationszeichen wie folgt:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Okay, was ist das jetzt? Gut, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # ist bekannt als a geometrische Reihe. Bei geometrischen Reihen handelt es sich um einen Exponenten. Genau das haben wir hier. Das Beste an geometrischen Serien wie dieser ist, dass sie sich zusammenfassen # r / (1-r) #, woher # r # ist das übliche Verhältnis; die Zahl, die zum Exponenten erhöht wird. In diesem Fall, # r # ist #25/28#, da #25/28# ist das, was zum Exponenten erhoben wird. (Randnotiz: # r # muss zwischen sein #-1# und #1#oder sonst zählt die Serie zu nichts.)

Daher ist die Summe dieser Serie:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Wir haben das gerade entdeckt #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #Das einzige, was übrig bleibt, ist, es mit zu multiplizieren #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Weitere Informationen über geometrische Serien finden Sie hier (Ich empfehle Ihnen, die gesamte Serie der Khan Academy über geometrische Serien zu sehen).