Antworten:
Konvergiert zu # 1 + i # (auf meinem Ti-83-Grafikrechner)
Erläuterung:
Lassen # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
Zunächst wird angenommen, dass diese unendliche Reihe konvergiert (d. H. Vorausgesetzt, dass S existiert und den Wert einer komplexen Zahl annimmt).
# S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Und wenn Sie für S lösen:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
und Anwendung der quadratischen Formel erhalten Sie:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #
Normalerweise nimmt die Quadratwurzelfunktion also den positiven Wert an # S = 1 + i #
Wenn es konvergiert, muss es also konvergieren # 1 + i #
Jetzt musst du nur noch beweisen, dass es zusammenläuft, oder wenn du wie ich faul bist, kannst du es anschließen # sqrt {-2} # in einen Taschenrechner, der mit imaginären Zahlen umgehen kann und die Wiederholungsbeziehung verwendet:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Ich wiederholte dies viele Male auf meinem Ti - 83 und stellte fest, dass es zum Beispiel näher kommt, nachdem ich es irgendwo wiederholt hatte, etwa 20 Mal, als ich ungefähr kam
# 1.000694478 + 1.001394137i #
ziemlich gute Näherung
