Könntest du mir helfen? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Antworten:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Erläuterung:

Dies erfordert die Integration von Teilen wie folgt. Die Limits werden bis zum Schluss ausgelassen

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (rot) (I = intu (dv) / (dx) dx) = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (rot) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

Das zweite Integral wird auch von Teilen ausgeführt

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#Farbe (rot) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (rot) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (rot) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

Jetzt die Grenzen setzen

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (e ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2)) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Antworten:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Erläuterung:

Obwohl die bereits gegebene Antwort perfekt ist, wollte ich nur einen einfacheren Weg aufzeigen, um dieselbe Antwort mit einem etwas fortgeschritteneren Ansatz zu erreichen - nämlich über komplexe Zahlen.

Wir beginnen mit der berühmten Beziehung

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

woher # i = sqrt {-1} #und beachten Sie, dass dies das bedeutet

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) impliziert e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

woher #Ich bin# bezeichnet den Imaginärteil.

So

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ ich})#

# = Im ({dh ^ pi -1} / {2 + i} mal {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + dh ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) mal (-1) + e ^ pi mal 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #