S ist eine geometrische Sequenz? a) Da (sqrtx-1), 1 und (sqrtx + 1) die 1. 3 Terme von S sind, ermitteln Sie den Wert von x. b) Zeigen Sie, dass der 5. Term von S 7 + 5sqrt2 ist

Antworten:

ein)# x = 2 #

b) siehe unten

a) Da die ersten drei Terme sind #sqrt x-1 #, 1 und #sqrt x + 1 #Der mittlere Term 1 muss das geometrische Mittel der beiden anderen sein. Daher

# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) impliziert #

# 1 = x-1 impliziert x = 2 #

Das übliche Verhältnis ist dann #sqrt 2 + 1 #und der erste Begriff ist #sqrt 2-1 #.

Somit ist der fünfte Begriff

# (Quadrat 2-1) mal (Quadrat 2 + 1) ^ 4 = (Quadrat 2 + 1) ^ 3 #

#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #

# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #

#qquad = 7 + 5sqrt2 #

Siehe unten.

In Anbetracht dessen

# rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # sind in # GP #.

So, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #

#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #

#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #

# rarrx = 2 #

Der erste Begriff # (a) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #

Der zweite Begriff # (b) = 1 #

Das gemeinsame Verhältnis # (r) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #

Das # n ^ (th) # Begriff der geometrischen Reihenfolge # (t_n) = a * r ^ (n-1) #

So, # t_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #

# = (sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #

# = (sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #

# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #

# x = 2 und 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.

Zum irgendein #3# aufeinander folgende Begriffe #ABC# von a GP, wir haben, # b ^ 2 = ac #.

In unserem Fall also # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #

# d. h. 1 = x-1 oder x = 2 #.

Mit # x = 2 #, das # 1 ^ (st) und 2 ^ (nd) # Bedingungen der GP unter

referenz sind, # sqrtx-1 = sqrt2-1 und 1 #, bzw.

Also die gemeinsames Verhältnis # r = (2 ^ (nd) "Begriff)" -:(1 ^ (st) "Begriff)" #, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.

#:. 4 ^ (th) "term = r (" 3 ^ (rd) "term) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1) #, # = (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.

Des Weiteren, # (5 ^ (th) "term) = r (" 4 ^ (th) term) #, # = (sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,

# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.

# rArr 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.