Antworten:
ein)# x = 2 #
b) siehe unten
Erläuterung:
a) Da die ersten drei Terme sind #sqrt x-1 #, 1 und #sqrt x + 1 #Der mittlere Term 1 muss das geometrische Mittel der beiden anderen sein. Daher
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) impliziert #
# 1 = x-1 impliziert x = 2 #
b)
Das übliche Verhältnis ist dann #sqrt 2 + 1 #und der erste Begriff ist #sqrt 2-1 #.
Somit ist der fünfte Begriff
# (Quadrat 2-1) mal (Quadrat 2 + 1) ^ 4 = (Quadrat 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
#qquad = 7 + 5sqrt2 #
Antworten:
Siehe unten.
Erläuterung:
In Anbetracht dessen
# rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # sind in # GP #.
So, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #
#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# rarrx = 2 #
Der erste Begriff # (a) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
Der zweite Begriff # (b) = 1 #
Das gemeinsame Verhältnis # (r) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
Das # n ^ (th) # Begriff der geometrischen Reihenfolge # (t_n) = a * r ^ (n-1) #
So, # t_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Antworten:
# x = 2 und 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.
Erläuterung:
Zum irgendein #3# aufeinander folgende Begriffe #ABC# von a GP, wir haben, # b ^ 2 = ac #.
In unserem Fall also # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
# d. h. 1 = x-1 oder x = 2 #.
Mit # x = 2 #, das # 1 ^ (st) und 2 ^ (nd) # Bedingungen der GP unter
referenz sind, # sqrtx-1 = sqrt2-1 und 1 #, bzw.
Also die gemeinsames Verhältnis # r = (2 ^ (nd) "Begriff)" -:(1 ^ (st) "Begriff)" #, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "term = r (" 3 ^ (rd) "term) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1) #, # = (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Des Weiteren, # (5 ^ (th) "term) = r (" 4 ^ (th) term) #, # = (sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.
