Antworten:
Siehe Erklärung …
Erläuterung:
Ob # p = q = r # dann:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Alle Nullen, die sie haben, werden also gemeinsam sein.
Beachten Sie, dass diese Bedingungen nicht erforderlich sind.
Zum Beispiel wenn # p = 0 #, #q! = 0 # und #r! = 0 # dann:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # hat Wurzel # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # hat Wurzeln # x = -r / q # und # x = 0 #
Die beiden Gleichungen haben also eine gemeinsame Wurzel, aber #p! = q # und wir brauchen nicht # p + q + r = 0 #.
Antworten:
Siehe unten.
Erläuterung:
Wie # px ^ 2 + qx + r = 0 # und # qx ^ 2 + rx + p = 0 # gemeinsame Wurzel haben, lass diese Wurzel sein #Alpha#. Dann
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # und # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
und daher # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
und # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # und # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
d.h. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
oder # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
oder # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
oder # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # und teilen durch # p #
oder # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
d.h. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Daher auch nicht # p + q + r = 0 # oder # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Beobachten Sie das als # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alpha / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alpha ^ 2 / (pq - r ^ 2) = alpha / (qr - p ^ 2) = 1 / (pr - q ^ 2) = (alpha ^ 2 + alpha + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
und wenn # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, wir haben # alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0 # d.h. # p = q = r #
