Was ist der Minimalwert von g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? auf dem Intervall [-2,2]?

Antworten:

Mindestwert ist um # x = 1-sqrt 5 ca. "-" 1.236 #;

#g (1 - Quadrat 5) = - (1+ Quadrat 5) / (8) ungefähr "-" 0,405 #.

Erläuterung:

In einem geschlossenen Intervall sind die möglichen Standorte für ein Minimum folgende:

• ein lokales Minimum innerhalb des Intervalls oder
• die Endpunkte des Intervalls.

Wir berechnen und vergleichen daher Werte für #g (x) # bei jedem #x in "-2", 2 # das macht #g '(x) = 0 #sowie bei #x = "- 2" # und # x = 2 #.

Erstens: was ist #g '(x) #? Mit der Quotientenregel erhalten wir:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Dies ist gleich Null, wenn der Zähler Null ist. Durch die quadratische Formel bekommen wir

# x ^ 2-2x-4 = 0 "=>" x = 1 + -sqrt 5 ungefähr {-1.236 ", 3.236} #

Nur eine davon # x #-Werte ist in #'-2',2#, und das ist # x = 1-sqrt 5 #.

Nun berechnen wir:

1. #g ("- 2") = (- 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0,375 #

2. #g (1 - Quadrat 5) = (1 - Quadrat 5 -1) / ((1 - Quadrat 5) ^ 2 + 4) = ("-" Quadrat 5) / (1-2 Quadrat 5 + 5 + 4) #

#Farbe (weiß) (g (1 - Quadrat 5)) = - (Quadrat 5) / (10-2 Quadrat 5) = - (Quadrat 5) / ((2) (5 Quadrat 5)) * Farbe (blau) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#Farbe (weiß) (g (1 - Quadrat 5)) = - (5 + 5 Quadratmeter 5) / (2 * (25-5) #

#Farbe (weiß) (g (1 - Quadrat 5)) = - (5 (1 + Quadrat 5)) / (40) = - (1 + Quadrat 5) / (8) ungefähr "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Vergleichen dieser drei Werte von #g (x) #, wir sehen das #g (1-sqrt 5) # ist das kleinste. So # - (1+ sqrt 5) / 8 # ist unser Mindestwert für #g (x) # auf #'-'2, 2#.