Was ist Phi, wie wurde es entdeckt und wozu dient es?

Was ist Phi, wie wurde es entdeckt und wozu dient es?
Anonim

Antworten:

Ein paar Gedanken …

Erläuterung:

#phi = 1/2 + sqrt (5) / 2 ~~ 1.6180339887 # ist als Goldener Schnitt bekannt.

Es wurde von Euklid (ca. 3. oder 4. Jahrhundert v. Chr.) Bekannt und studiert, im Wesentlichen für viele geometrische Eigenschaften …

Es hat viele interessante Eigenschaften, von denen hier einige sind …

Die Fibonacci-Sequenz kann rekursiv definiert werden als:

# F_0 = 0 #

# F_1 = 1 #

#F_ (n + 2) = F_n + F_ (n + 1) #

Es beginnt:

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…#

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen tendiert dazu # phi #. Das ist:

#lim_ (n-> oo) F_ (n + 1) / F_n = phi #

In der Tat ist der allgemeine Begriff der Fibonacci-Sequenz durch die Formel gegeben:

#F_n = (phi ^ n - (-phi) ^ (- n)) / sqrt (5) #

Ein Rechteck mit Seitenverhältnissen #phi: 1 # wird ein Goldenes Rechteck genannt. Wenn ein Quadrat maximaler Größe von einem Ende eines goldenen Rechtecks entfernt wird, ist das verbleibende Rechteck ein goldenes Rechteck.

Dies hängt sowohl mit dem Grenzverhältnis der Fibonacci-Sequenz als auch mit der Tatsache zusammen, dass:

#phi = 1; Takt (1) = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1) …))))

Dies ist die am langsamsten konvergierende Standardfraktion.

Wenn Sie drei goldene Rechtecke symmetrisch senkrecht im dreidimensionalen Raum platzieren, bilden die zwölf Ecken die Eckpunkte eines regulären Ikosaeders. Daher können wir die Oberfläche und das Volumen eines regulären Ikosaeders mit gegebenem Radius berechnen. Siehe

Ein gleichschenkliges Dreieck mit Seitenverhältnissen #phi: phi: 1 # hat Grundwinkel # (2pi) / 5 # und Scheitelwinkel # pi / 5 #. Dies erlaubt uns, exakte algebraische Formeln für zu berechnen #sin (pi / 10) #, #cos (pi / 10) # und letztendlich für ein Vielfaches von # pi / 60 # (#3^@#). Siehe