Wie können Sie die Binomialformel verwenden, um [x + (y + 1)] ^ 3 zu erweitern?

Antworten:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Erläuterung:

Dieses Binom hat die Form # (a + b) ^ 3 #

Wir erweitern das Binom, indem Sie diese Eigenschaft anwenden:

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

Wo in gegebenem binomial # a = x # und # b = y + 1 #

Wir haben:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # Bemerke es als (1)

In der obigen Erweiterung haben wir noch zwei Binome, die erweitert werden können

# (y + 1) ^ 3 # und # (y + 1) ^ 2 #

Zum # (y + 1) ^ 3 # Wir müssen die oben genannte Cubed-Eigenschaft verwenden

So # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Bemerke es als (2)

Zum # (y + 1) ^ 2 # Wir müssen das Quadrat der Summe verwenden, die sagt:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

So # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Bemerke es als (3)

Wenn wir (2) und (3) in Gleichung (1) einsetzen, haben wir:

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Wir müssen die ähnlichen Ausdrücke hinzufügen, aber in diesem Polynom haben wir keine ähnlichen Ausdrücke, wir können die Ausdrücke arrangieren.

Somit, # x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #